Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Đặt :
\(t=\sqrt{x^2-5x+5}\left(t\ge0\right)\)
Bất phương trình trở thành :
\(\log_2\left(t+1\right)+\log_3\left(t^2+2\right)\le2\)
Xét \(f\left(t\right)=\log_2\left(t+1\right)+\log_3\left(t^2+2\right)\) trên \(\left(0;+\infty\right)\)
Do \(t\ge0\) nên \(\log_2\left(t+1\right)\) và \(\log_3\left(t^2+2\right)\) đều là các hàm số đồng biến, do đó f(t) đồng biến trên \(\left(0;+\infty\right)\)
ĐKXĐ: \(-1< x< 2\)
Khi đó:
\(\Leftrightarrow log_2\left(2-x\right)\left(2x+2\right)-2log_2\left(m-\frac{x}{2}+4\left(\sqrt{2-x}+\sqrt{2x+2}\right)\right)\le0\)
\(\Leftrightarrow log_2\frac{\sqrt{\left(2-x\right)\left(2x+2\right)}}{m-\frac{x}{2}+4\left(\sqrt{2-x}+\sqrt{2x+2}\right)}\le0\)
\(\Rightarrow\frac{\sqrt{\left(2-x\right)\left(2x+2\right)}}{m-\frac{x}{2}+4\left(\sqrt{2-x}+\sqrt{2x+2}\right)}\le1\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{\left(2-x\right)\left(2x+2\right)}\le m-\frac{x}{2}+4\left(\sqrt{2-x}+\sqrt{2x+2}\right)\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{\left(2-x\right)\left(2x+2\right)}+\frac{x}{2}-4\left(\sqrt{2-x}+\sqrt{2x+2}\right)\le m\)
Đặt \(\sqrt{2-x}+\sqrt{2x+2}=t\Rightarrow\sqrt{3}\le t\le3\)
\(t^2=x+4+2\sqrt{\left(2-x\right)\left(2x+2\right)}\Rightarrow\sqrt{\left(2-x\right)\left(2x+2\right)}+\frac{x}{2}=\frac{t^2}{2}-2\)
\(\Rightarrow\frac{t^2}{2}-4t-2\le m\)
Xét hàm \(f\left(t\right)=\frac{t^2}{2}-4t-2\) trên \(\left[\sqrt{3};3\right]\)
\(\Rightarrow f\left(t\right)_{min}=f\left(3\right)=-\frac{19}{2}\Rightarrow m_{min}=-\frac{19}{2}\)
Điều kiện :
\(\begin{cases}x^2-4x+5>0\\3+\log_2\left(x^2-4x+5\right)\ge0\\5-\log_2\left(x^2-4x+5\right)\ge0\end{cases}\)
\(\Leftrightarrow x^2-4x+5\le2^5\)
\(\Leftrightarrow2-\sqrt{29}\le x\)\(\le2+\sqrt{29}\)
Đặt \(\begin{cases}u=\sqrt{3+\log_2\left(x^2-4x+5\right)}\\v=\sqrt{5-\log_2\left(x^2-4x+5\right)}\end{cases}\) \(\left(v,u\ge0\right)\)
Khi đó ta có hệ phương trình :
\(\begin{cases}u^2+v^2=8\\u+2v=6\end{cases}\)
Giải ra ta được :
\(\begin{cases}u=2\\v=2\end{cases}\) hoặc \(\begin{cases}u=\frac{2}{5}\\v=\frac{14}{5}\end{cases}\)
Từ đó suy ra \(\log_2\left(x^2-4x+5\right)=1\) hoặc \(\log_2\left(x^2-4x+5\right)=\frac{-71}{25}\) và tìm được 4 nghiệm của phương trình
ĐKXĐ: \(-x^2+4x+m>0\)
\(log_2\left(-x^2+4x+m\right)-log_2\left(x^2+2\right)< log_23\)
\(\Leftrightarrow log_2\left(\dfrac{-x^2+4x+m}{x^2+2}\right)< log_23\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{-x^2+4x+m}{x^2+2}< 3\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}-x^2+4x+m>0\\-x^2+4x+m< 3x^2+6\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m>x^2-4x\\m< 4x^2-4x+6\end{matrix}\right.\) ; \(\forall x\in\left[1;5\right]\)
Xét hai hàm \(\left\{{}\begin{matrix}f\left(x\right)=x^2-4x\\g\left(x\right)=4x^2-4x+6\end{matrix}\right.\) trên \(\left[1;5\right]\) ta được: \(\left\{{}\begin{matrix}f\left(x\right)_{max}=f\left(5\right)=5\\g\left(x\right)_{min}=g\left(1\right)=6\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow5\le m\le6\)
Có 2 giá trị nguyên của m
ĐKXĐ: \(\left\{{}\begin{matrix}x^2+4x-5>0\\x+7>0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}-7< x< -5\\x>1\end{matrix}\right.\)
Khi đó BPT tương đương:
\(log_2\left(x^2+4x-5\right)>2log_{2^{-1}}\left(\frac{1}{x+7}\right)\)
\(\Leftrightarrow log_2\left(x^2+4x-5\right)>log_2\left(x+7\right)^2\)
\(\Leftrightarrow x^2+4x-5>x^2+14x+49\)
\(\Leftrightarrow10x< -54\Rightarrow x< -\frac{27}{5}\)
Kết hợp ĐKXĐ \(\Rightarrow-\frac{27}{5}< x< -5\Rightarrow a=-\frac{27}{5};b=-5\)
\(\Rightarrow...\)
Điều kiện x>1
Từ (1) ta có \(\log_{\sqrt{3}}\frac{x+1}{x-1}>\log_34\) \(\Leftrightarrow\frac{x+1}{x-1}>2\) \(\Leftrightarrow\) 1<x<3
Đặt \(t=\log_2\left(x^2-2x+5\right)\)
Tìm điều kiện của t :
- Xét hàm số \(f\left(x\right)=\log_2\left(x^2-2x+5\right)\) với mọi x thuộc (1;3)
- Đạo hàm : \(f\left(x\right)=\frac{2x-2}{\ln2\left(x^2-2x+5\right)}>\) mọi \(x\in\left(1,3\right)\)
Hàm số đồng biến nên ta có \(f\left(1\right)\) <\(f\left(x\right)\) <\(f\left(3\right)\) \(\Leftrightarrow\)2<2<3
- Ta có \(x^2-2x+5=2'\)
\(\Leftrightarrow\) \(\left(x-1\right)^2=2'-4\)
Suy ra ứng với mõi giá trị \(t\in\left(2,3\right)\) ta luôn có 1 giá trị \(x\in\left(1,3\right)\)
Lúc đó (2) suy ra : \(t-\frac{m}{t}=5\Leftrightarrow t^2-5t=m\)
Xét hàm số : \(f\left(t\right)=t^2-5t\) với mọi \(t\in\left(2,3\right)\)
- Đạo hàm : \(f'\left(t\right)=2t-5=0\Leftrightarrow t=\frac{5}{2}\)
- Bảng biến thiên :
| x | 2 \(\frac{5}{2}\) 3 |
| y' | + 0 - |
| y | -6 -6 -\(\frac{25}{4}\) |
Để hệ có 2 cặp nghiệm phân biệt \(\Leftrightarrow-6>-m>-\frac{25}{4}\)\(\Leftrightarrow\)\(\frac{25}{4}\) <m<6
\(ĐKXĐ:x>2\)
BPT đã cho tương đương với:
\(2log_2\sqrt{x+1}+log_2\left(x-2\right)\le2\)
\(\Leftrightarrow log_2\left(x+1\right)+log_2\left(x-2\right)\le2\)
\(\Leftrightarrow log_2\left(x^2-x-2\right)\le2\)\(\Leftrightarrow0< x^2-x-2\le2^2\)\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}2< x\le3\\-2\le x< -1\left(l\right)\end{matrix}\right.\)
Vậy tổng các nghiệm nguyên của bpt là 3