Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Có x^2 + 2xy + 4x + 4y + 2y^2 + 3 = 0
--> (x+y)^2 + 4(x+y) + 4+ y^2 - 1 = 0
--> (x+y+2)^2 + y^2 = 1
-->(x+y+2)^2 <= 1 ( vì y^2 >=1)
--> -1 <= x+y+2 <=1
--> 2015 <= x+y+2018 <= 2017
hay 2015 <= Q , dau bang xay ra khi x+y+2=-1 --> x+y=-3
Q<=2017, dau bang xay ra khi x+y+2=1 --> x+y=-1
Vậy giá trị nhỏ nhất của Q là 2015 khi x+y =-3
giá trị lớn nhất của Q là 2017 khi x+y=-1
a) \(A=4x^2-12x+100=\left(2x\right)^2-12x+3^2+91=\left(2x-3\right)^2+91\)
Ta có: \(\left(2x-3\right)^2\ge0\forall x\inℤ\)
\(\Rightarrow\left(2x-3\right)^2+91\ge91\)
hay A \(\ge91\)
Dấu "=" xảy ra <=> \(\left(2x-3\right)^2=0\)
<=> 2x-3=0
<=> 2x=3
<=> \(x=\frac{3}{2}\)
Vậy Min A=91 đạt được khi \(x=\frac{3}{2}\)
b) \(B=-x^2-x+1=-\left(x^2+x-1\right)=-\left(x^2+x+\frac{1}{4}-\frac{5}{4}\right)=-\left(x+\frac{1}{2}\right)^2+\frac{5}{4}\)
Ta có: \(-\left(x+\frac{1}{2}\right)^2\le0\forall x\)
\(\Rightarrow-\left(x+\frac{1}{2}\right)^2+\frac{5}{4}\le\frac{5}{4}\) hay B\(\le\frac{5}{4}\)
Dấu "=" \(\Leftrightarrow-\left(x+\frac{1}{2}\right)^2=0\)
\(\Leftrightarrow x+\frac{1}{2}=0\)
\(\Leftrightarrow x=\frac{-1}{2}\)
Vậy Max B=\(\frac{5}{4}\)đạt được khi \(x=\frac{-1}{2}\)
\(C=2x^2+2xy+y^2-2x+2y+2\)
\(C=x^2+2x\left(y-1\right)+\left(y-1\right)^2+x^2+1\)
\(\Leftrightarrow C=\left(x+y-1\right)^2+x^2+1\)
Ta có:
\(\hept{\begin{cases}\left(x+y-1\right)^2\ge0\forall x;y\inℤ\\x^2\ge0\forall x\inℤ\end{cases}}\)
\(\Leftrightarrow\left(x+y-1\right)^2+x^2+1\ge1\)
hay C\(\ge\)1
Dấu "=" xảy ra khi \(\hept{\begin{cases}\left(x+y-1\right)^2=0\\x^2=0\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x+y=1\\x=0\end{cases}\Leftrightarrow}\hept{\begin{cases}y=1\\x=0\end{cases}}}\)
Vậy Min C=1 đạt được khi y=1 và x=0
\(N=2x^2+y^2+2xy-2x-2y+2011\)
\(=\left(x^2+y^2+2xy\right)-2\left(x+y\right)+1+x^2+2010\)
\(=\left(x+y-1\right)^2+x^2+2010\ge2010\forall x;y\)
Dấu " = " xảy ra \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x+y-1=0\\x=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x+y=1\\x=0\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}y=1\\x=0\end{matrix}\right.\)
Vậy Min N là : \(2010\Leftrightarrow x=0;y=1\)
\(P=2x\left(1-x\right)=2x-2x^2=-2\left(x^2-x+\dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{4}\right)=-2\left(x-\dfrac{1}{2}\right)^2+\dfrac{1}{2}\le\dfrac{1}{2}\forall x\)Dấu " = " xảy ra \(\Leftrightarrow x-\dfrac{1}{2}=0\Leftrightarrow x=\dfrac{1}{2}\)
Vậy Max P là : \(\dfrac{1}{2}\Leftrightarrow x=\dfrac{1}{2}\)
\(Q=-x^2-4y^2+4x+2y-25\)
\(=-\left(x^2-4x+4\right)-\left(4y^2-2y+\dfrac{1}{4}\right)-\dfrac{83}{4}\)
\(=-\left(x-2\right)^2-\left(2y-\dfrac{1}{2}\right)^2-\dfrac{83}{4}\le\dfrac{83}{4}\forall x;y\)
Dấu " = " xảy ra \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x-2=0\\2y-\dfrac{1}{2}=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=2\\2y=\dfrac{1}{2}\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=2\\y=\dfrac{1}{4}\end{matrix}\right.\)
Vậy Max Q là : \(\dfrac{83}{4}\Leftrightarrow x=2;y=\dfrac{1}{4}\)
\(K=x^2+2y^2-2xy+2x-6y+8\)
\(K=x^2+2x\left(y-1\right)-2y^2-6y+8\)
\(K=x^2+2x\left(y-1\right)-y^2-2y+1+y^2-4y+4+4\)
\(K=x^2+2x\left(y-1\right)-\left(y-1\right)^2+\left(y-2\right)^2+4\)
\(K=\left(x+y-1\right)^2+\left(y-2\right)^2+4\ge4\forall x;y\)
Dấu "=" xảy ra khi x = -3; y = 4
\(A=2x^2+y^2-2xy+4x+2y+5\)
\(A=\left(x^2+6x+9\right)+\left(y^2-2xy-2y+x^2-2x+1\right)-5\)
\(A=\left(x^2+6x+9\right)+\left[y^2-2y\left(x-1\right)+\left(x^2-2x+1\right)\right]-5\)
\(A=\left(x^2+6x+9\right)+\left[y^2-2y\left(x-1\right)+\left(x-1\right)^2\right]-5\)
\(A=\left(x+3\right)^2+\left(y-x+1\right)^2-5\ge-5\)
Dấu "=" xảy ra khi x=-3 và y=-4
\(A=2x^2+y^2-2xy+4x+2y+5\)
=> \(A=y^2-2y\left(x-1\right)+\left(x-1\right)^2-\left(x-1\right)^2+2x^2+4x+5\)
=> \(A=\left(y-x+1\right)^2-x^2+2x-1+2x^2+4x+5\)
=> \(A=\left(y-x+1\right)^2-x^2+6x+4\)
=> \(A=\left(y-x+1\right)^2-\left(x^2-2.x.3+9\right)+13\)
=> \(A=\left(y-x+1\right)^2-\left(x-3\right)^2+13\)
Có \(\left(y-x+1\right)^2\ge0\)
\(\left(x-3\right)^2\ge0\)
=> \(\left(y-x+1\right)^2-\left(x-3\right)^2+13\ge13\)
=> \(A\ge13\)
Vậy Amin = 13 <=> \(\hept{\begin{cases}y-x+1=0\\x-3=0\end{cases}}\)
<=> \(\hept{\begin{cases}x=3\\y=2\end{cases}}\)
Bài làm:
a) \(P=x^2-5x=\left(x^2-5x+\frac{25}{4}\right)-\frac{25}{4}\)
\(=\left(x-\frac{5}{2}\right)^2-\frac{25}{4}\le-\frac{25}{4}\left(\forall x\right)\)
Dấu "=" xảy ra khi: \(x=\frac{5}{2}\)
Vậy \(Min_P=-\frac{25}{4}\Leftrightarrow x=\frac{5}{2}\)
a) P = x2 - 5x
= ( x2 - 5x + 25/4 ) - 25/4
= ( x - 5/2 )2 - 25/4
( x - 5/2 )2 ≥ 0 ∀ x => ( x - 5/2 )2 - 25/4 ≥ -25/4
Đẳng thức xảy ra <=> x - 5/2 = 0 => x = 5/2
=> MinF = -25/4 <=> x = 5/2
b) Q = x2 + 2y2 + 2xy - 2x - 6y + 2015
= ( x2 + 2xy + y2 - 2x - 2y + 1 ) + ( y2 - 4y + 4 ) + 2010
= [ ( x + y )2 - 2( x + y ) + 12 ] + ( y - 2 )2 + 2010
= ( x + y - 1 )2 + ( y - 2 )2 + 2010
\(\hept{\begin{cases}\left(x+y-1\right)^2\ge0\forall x,y\\\left(y-2\right)^2\ge0\forall x\end{cases}}\Rightarrow\left(x+y-1\right)^2+\left(y-2\right)^2+2010\ge2010\)
Đẳng thức xảy ra <=> \(\hept{\begin{cases}x+y-1=0\\y-2=0\end{cases}}\Rightarrow\hept{\begin{cases}x+y-1=0\\y=2\end{cases}}\Rightarrow\hept{\begin{cases}x=-1\\y=2\end{cases}}\)
=> MinQ = 2010 <=> x = -1 , y = 2
Ta có :
\(x^2+y^2+2x+2y+2xy+5\)
\(=\left(x^2+2xy+y^2\right)+2\left(x+y\right)+5\)
\(=\left(x+y\right)^2+2\left(x+y\right)+5\)
Đặt x+y=a
Biểu thức trở thành :
\(a^2+2a+5\)
\(=a^2+2a+1+4\)
\(=\left(a+1\right)^2+4\)
Vì \(\left(a+1\right)^2\ge0\)
\(\Rightarrow\left(a+1\right)^2+4\ge4\)
Dấu " = " xảy ra khi a + 1 = 0
<=> x+y+1=0
Vậy biểu thức đạt giá trị nhỏ nhất là 4 khi x + y + 1 = 0
M= x2 +2y2 +2xy -4y +5
=x2+2xy+y2+y2-4y+4+1
=(x+y)2+(y-2)2+1
Vì \(\left(x+y\right)^2\ge0;\left(y-2\right)^2\ge0\)
nên: \(\left(x+y\right)^2+\left(y-2\right)^2+1\ge1\)
Dấu "=" xảy ra khi:
y-2=0 và x+y=0
<=>y=2 và x+2=0
<=>y=2 và x=-2
Vậy GTNN của M là 1 tại x=-2;y=2