Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Có: \(x+y+z=\frac{1}{2}\Leftrightarrow2x+2y+2z=1\)
Mặt khác: \(\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{1}{z^2}+\frac{1}{xyz}=4\)
\(\Leftrightarrow\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{1}{z^2}+\frac{2x+2y+2z}{xyz}=4\)
\(\Leftrightarrow\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{1}{z^2}+\frac{2}{xy}+\frac{2}{yz}+\frac{2}{zx}=4\)
\(\Leftrightarrow\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)^2=4\)
\(\Leftrightarrow\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=2\) ( vì \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}>0\) )
\(\Leftrightarrow\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=\frac{1}{\frac{1}{2}}=\frac{1}{x+y+z}\)
\(\Leftrightarrow\frac{x+y}{xy}=\frac{1}{x+y+z}-\frac{1}{z}=\frac{-\left(x+y\right)}{z\left(x+y+z\right)}\)
\(\Leftrightarrow\left(x+y\right)\left(zx+yz+z^2\right)+xy\left(x+y\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x+y\right)\left(xy+yz+zx+z^2\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x+y=0\\y+z=0\\z+x=0\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x^{2021}+y^{2021}=0\\y^{2017}+z^{2017}=0\\z^{2019}+x^{2019}=0\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow Q=0\)
Vậy...
b2 \(\sqrt{x-1}+\sqrt{y-1}+\sqrt{z-1}=\sqrt{x}.\sqrt{1-\frac{1}{x}}+\sqrt{y}.\)\(\sqrt{y}.\sqrt{1-\frac{1}{y}}+\sqrt{z}.\sqrt{1-\frac{1}{z}}\)rồi dung bunhia là xong
A= \(\frac{1}{a^3}\)+ \(\frac{1}{b^3}\)+ \(\frac{1}{c^3}\)+ \(\frac{ab^2}{c^3}\)+ \(\frac{bc^2}{a^3}\)+ \(\frac{ca^2}{b^3}\)
Svacxo:
3 cái đầu >= \(\frac{9}{a^3+b^3+c^3}\)
3 cái sau >= \(\frac{\left(\sqrt{a}b+\sqrt{c}b+\sqrt{a}c\right)^2}{a^3+b^3+c^3}\)
Cô-si: cái tử bỏ bình phương >= 3\(\sqrt{abc}\)
=> cái tử >= 9abc= 9 vì abc=1
Còn lại tự làm
Áp dụng BĐT Cauchy cho hai số dương :
\(\frac{x^3}{y^2}+x\ge2\sqrt{\frac{x^3}{y^2}\cdot x}=2\frac{x^2}{y}\)
\(\frac{y^3}{z^2}+y\ge2\frac{y^2}{z}\)
\(\frac{z^3}{x^2}+z\ge2\frac{z^2}{x}\)
\(\Rightarrow\frac{x^3}{y^2}+\frac{y^3}{z^2}+\frac{z^3}{x^2}\ge2\left(\frac{x^2}{y}+\frac{y^2}{z}+\frac{z^2}{x}\right)-\left(x+y+z\right)\)
Mà \(\frac{x^2}{y}+\frac{y^2}{z}+\frac{z^2}{x}\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{x+y+z}=x+y+z\)
\(\Rightarrow\frac{x^3}{y^2}+\frac{y^3}{z^2}+\frac{z^3}{y^2}\ge\frac{x^2}{y}+\frac{y^2}{z}+\frac{z^2}{x}\)
\(\frac{x2}{y+z}+x=\frac{x^2+x\left(y+z\right)}{y+z}=\frac{x\left(x+y+z\right)}{y+z}\)
Tương tự ta có:
\(\frac{y^2}{x+z}+y=\frac{y\left(x+y+z\right)}{x+z};\frac{z^2}{x+y}+z=\frac{z\left(x+y+z\right)}{x+y}\)
Cộng vế theo vế ta có:
\(\frac{x^2}{y+z}+\frac{y^2}{x+z}+\frac{z^2}{x+y}+x+y+z=\left(x+y+z\right)\left(\frac{x}{y+z}+\frac{y}{x+z}+\frac{z}{x+y}\right)\)
\(\Leftrightarrow\frac{x^2}{y+z}+\frac{y^2}{x+z}+\frac{z^2}{x+y}+2020=2020\)
E ms bt bài này thôi ạ
Áp dụng bất đẳng thức Cosi cho các số không âm, ta có:
\(\frac{x}{y}+\frac{y}{z}\ge2\sqrt{\frac{x}{z}}\)
\(\frac{y}{z}+\frac{z}{x}\ge2\sqrt{\frac{y}{x}}\)
\(\frac{x}{y}+\frac{z}{x}\ge2\sqrt{\frac{z}{y}}\)
công vế vs vế vs vế :\(2\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{z}+\frac{z}{x}\right)\ge2\left(\sqrt{\frac{x}{z}}+\sqrt{\frac{z}{y}}+\sqrt{\frac{y}{x}}\right)\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{\frac{x}{z}}+\sqrt{\frac{z}{y}}+\sqrt{\frac{y}{z}}\le1\)
x=1, y=2, z=3, x+y+z=6. Cách giải thì mình không biết, nhưng chắc chắn bằng 6 đấy.
Áp dụng t/c dãy tỉ số bằng nhau:
\(\frac{x+y+2019}{z}=\frac{y+z-2020}{x}=\frac{z+x+1}{y}=\frac{2}{x+y+z}\)
\(=\frac{x+y+2019+y+z-2020+z+x+1}{z+x+y}=2\)
\(\Rightarrow x+y+z=1\)
\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}x+y=1-z\\y+z=1-x\\x+z=1-y\end{cases}}\)
Thay vào đầu bài:
\(\frac{1-z+2019}{z}=\frac{1-x-2020}{x}=\frac{1-y+1}{y}\)
\(\Leftrightarrow\frac{2020-z}{z}=\frac{-2019-x}{x}=\frac{2-y}{y}\)
\(\Leftrightarrow\frac{2020}{z}=\frac{-2019}{x}=\frac{2}{y}=\frac{2020-2019+2}{x+y+z}=3\)(Theo t/c dãy tỉ số bằng nhau)
\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}z=\frac{2020}{3}\\x=\frac{-2019}{3}\\y=\frac{2}{3}\end{cases}}\)
ĐK: x , y, z, x+y+z khác 0
Áp dụng dãy tỉ số bằng nhau: ( kiến thức trong SGK lớp 7 em tìm hiểu lại nhé! )
\(\frac{x+y+2019}{z}=\frac{y+z-2020}{x}=\frac{z+x+1}{y}=\frac{x+y+2019+y+z-2020+z+x+1}{x+y+z}\)
\(=\frac{2x+2y+2z}{x+y+z}=2\)
=> \(\frac{2}{x+y+z}=2\Leftrightarrow x+y+z=1\) (1)
\(\frac{x+y+2019}{z}=2\Leftrightarrow x+y+2019=2z\)(2)
\(\frac{y+z-2020}{x}=2\Leftrightarrow y+z-2020=2x\) (3)
\(\frac{z+x+1}{y}=2\Leftrightarrow z+x+1=2y\) (4)
Từ (1) <=> x + y = 1 - z ; y +z =1 - x ; z + x = 1 -y . Lần lượt thế vào (2) ; (3) ; (4) để tìm x, y, z