Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Đặt \(-x^2+2x=t\Rightarrow0\le t\le1\)
\(\Rightarrow-t^2+t-3+m=0\)
\(\Leftrightarrow t^2-t+3=m\)
Xét hàm \(f\left(t\right)=t^2-t+3\) trên \(\left[0;1\right]\)
\(-\dfrac{b}{2a}=\dfrac{1}{2}\in\left[0;1\right]\)
\(f\left(0\right)=3\) ; \(f\left(1\right)=3\) ; \(f\left(\dfrac{1}{2}\right)=\dfrac{11}{4}\)
\(\Rightarrow\dfrac{11}{4}\le f\left(t\right)\le3\)
\(\Rightarrow\) Pt có nghiệm khi và chỉ khi \(\dfrac{11}{4}\le m\le3\)
để pt có 2 nghiệm phân biệt thì: đenta > 0
mà ddeenta = m2 - 6m - 7 > 0
giải ra ta đc: m<-1 hay m>7 (1)
áp dụng hệ thức vi-et đc x1 + x2 = m-1 và x1.x2= m+2
kết 2 biểu thức trên dễ dàng làm đc x12 + x22 = m2-4m-3
bđt trên (=) (x12+x22)/x12.x22 - 1 > 0
thay vào đc (-16m -7)/(m2+4m+4) > 0 =) m khác -2 và m<-7/16
kết hợp vs (1) =) m<-1 và m khác -2
Xét trên miền \(x\ge1\)
\(mx+3x-2\sqrt{\left(x-1\right)\left(x+1\right)}+m-3=0\)
\(\Leftrightarrow m\left(x+1\right)=2\sqrt{\left(x-1\right)\left(x+1\right)}-3\left(x-1\right)\)
\(\Leftrightarrow m=\frac{2\sqrt{\left(x-1\right)\left(x+1\right)}-3\left(x-1\right)}{x+1}\)
\(\Leftrightarrow-3.\frac{x-1}{x+1}+2\sqrt{\frac{x-1}{x+1}}=m\)
Đặt \(\sqrt{\frac{x-1}{x+1}}=a\Rightarrow0\le a< 1\)
Xét hàm \(f\left(a\right)=-3a^2+2a\) trên \([0;1)\) ta có:
\(\left\{{}\begin{matrix}f\left(0\right)=0\\f\left(1\right)=-1\\f\left(\frac{-2}{-3.2}\right)=\frac{1}{3}\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow-1< f\left(a\right)\le\frac{1}{3}\) \(\forall a\in[0;1)\)
\(\Rightarrow\)Để phương trình có nghiệm \(x\ge1\) thì \(-1< m\le\frac{1}{3}\)
Đặt \(t=3^x,t>0\)
Bất phương trình trở thành :
\(m.t^2+9\left(m-1\right)t+m-1>0\)
\(\Leftrightarrow m\left(t^2+9t+1\right)>9t+1\)
\(\Leftrightarrow m>\frac{9t+1}{t^2+9t+1}\)
Bất phương trình đã cho nghiệm đúng với mọi x khi và chỉ khi :
\(m>max_{t>0}\frac{9t+1}{t^2+9t+1}\)
Xét hàm số \(f\left(t\right)=\frac{9t+1}{t^2+9t+1};t>0\)
Ta có : \(f'\left(t\right)=\frac{-9t-2}{\left(t^2+9t+1\right)^2}< 0,t>0\)
đây là hàm nghịch biến suy ra \(f\left(t\right)< f\left(0\right)=1\)
Do đó : \(\frac{9t+1}{t^2+9t+1}< 0,t>0\) nên các giá trị cần tìm là \(m\ge1\)