Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Ta có BĐT \(x^3+y^3\ge xy\left(x+y\right)\Leftrightarrow\left(x+y\right)\left(x-y\right)^2\ge0\left(true\right)\)
Hoàn toàn tương tự: \(y^3+z^3\ge yz\left(y+z\right);z^3+x^3\ge zx\left(z+x\right)\)
Do đó \(VT\le\frac{1}{xy\left(x+y\right)+1}+\frac{1}{yz\left(y+z\right)+1}+\frac{1}{zx\left(z+x+1\right)}\)
\(=\frac{1}{xy\left(x+y+z\right)}+\frac{1}{yz\left(x+y+z\right)}+\frac{1}{zx\left(x+y+z\right)}\) (thay 1 = xyz)
\(=\frac{1}{\left(x+y+z\right)}\left(\frac{x+y+z}{xyz}\right)=\frac{1}{xyz}=1\)(đpcm)
Đẳng thức xảy ra khi x =y = z
P/s :Bài này em làm nhiều trên diễn đàn hoc24 và OLM rồi nhưng cứ nhai lại:D
Với x,y>0 luôn có: \(x^3+y^3\ge xy\left(x+y\right)\) (1)
<=> \(\left(x+y\right)\left(x^2-xy+y^2\right)-xy\left(x+y\right)\ge0\)
<=>\(\left(x+y\right)\left(x^2-2xy+y^2\right)\ge0\)
<=> \(\left(x+y\right)\left(x-y\right)^2\ge0\)( luôn đúng)
Dấu "=" xảy ra <=> x=y>0
Từ (1) <=> \(x^3+y^3+1\ge xy\left(x+y\right)+1=xy\left(x+y\right)+xyz=xy\left(x+y+z\right)=\frac{1}{z}\left(x+y+z\right)\)( do xyz=1)
=> \(\frac{1}{x^3+y^3+1}\le\frac{z}{x+y+z}\)
CM tương tự : \(\frac{1}{y^3+z^3+1}\le\frac{x}{x+y+z}\)
\(\frac{1}{z^3+xz+x^3}\le\frac{y}{x+y+z}\)
Cộng vế với vế => \(\frac{1}{x^3+y^3+1}+\frac{1}{y^3+z^3+1}+\frac{1}{z^3+x^3+1}\le1\)
Dấu "=" xảy ra <=> x=y=z=1
Ta đi c/m BĐT sau: \(x^3+y^3\ge xy\left(x+y\right)\) (*)
Thật vậy (*) \(\Leftrightarrow x^3+y^3-x^2y-xy^2\ge0\)
\(\Leftrightarrow x^2\left(x-y\right)+y^2\left(y-x\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)\left(x^2-y^2\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2\left(x+y\right)\ge0\)(luôn đúng)
Áp dụng vào bài toán:
\(\frac{1}{x^3+y^3+1}\le\frac{1}{xy\left(x+y\right)+1}=\frac{1}{xy\left(x+y+z\right)}\)(Do xyz=1)
Tương tự: \(\frac{1}{y^3+z^3+1}\le\frac{1}{yz\left(x+y+z\right)};\frac{1}{z^3+x^3+1}\le\frac{1}{zx\left(x+y+z\right)}\)
\(\Rightarrow A\le\frac{1}{xy\left(x+y+z\right)}+\frac{1}{yz\left(x+y+z\right)}+\frac{1}{zx\left(x+y+z\right)}=\frac{x+y+z}{xyz\left(x+y+z\right)}=1\)
Vậy Max A = 1. Dấu "=" xảy ra <=> x=y=z=1.
Ta có:
\(H=\frac{1}{x^3\left(y+z\right)}+\frac{1}{y^3\left(z+x\right)}+\frac{1}{z^3\left(x+y\right)}\)
\(=\frac{\frac{1}{x^2}}{x\left(y+z\right)}+\frac{\frac{1}{y^2}}{y\left(z+x\right)}+\frac{\frac{1}{z^2}}{z\left(x+y\right)}\)
\(=\frac{\left(\frac{1}{x}\right)^2}{xy+zx}+\frac{\left(\frac{1}{y}\right)^2}{yz+xy}+\frac{\left(\frac{1}{z}\right)^2}{zx+yz}\)
Áp dụng BĐT Bunyakovsky dạng cộng mẫu ta được:
\(H\ge\frac{\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)^2}{2\left(xy+yz+zx\right)}=\frac{\left(\frac{xy+yz+zx}{xyz}\right)^2}{2\left(xy+yz+zx\right)}=\frac{\left(xy+yz+zx\right)^2}{2\left(xy+yz+zx\right)}\)
\(=\frac{xy+yz+zx}{2}\ge\frac{3\sqrt[3]{\left(xyz\right)^2}}{2}=\frac{3}{2}\)
Dấu "=" xảy ra khi: x = y = z = 1
Vậy Min(H) = 3/2 khi x = y = z = 1
áp dụng bđt cosi ta có:
\(x^3+y^3+1>=3xy\Rightarrow\frac{1}{x^3+y^3+1}< =\frac{1}{3xy}\)
tương tự \(\frac{1}{y^3+z^3+1}< =\frac{1}{3yz};\frac{1}{z^3+x^3+1}< =\frac{1}{3zx}\)
dấu = xảy ra khi x=y=z=1(thỏa mãn vì khi đó xyz=1*1*1=1)
\(\Rightarrow A< =\frac{1}{3xy}+\frac{1}{3yz}+\frac{1}{3zx}\)
\(\Rightarrow\)max của A là \(\frac{1}{3xy}+\frac{1}{3yz}+\frac{1}{3zx}\)khi x=y=z=1
khi đó A=\(\frac{1}{3\cdot1\cdot1}+\frac{1}{3\cdot1\cdot1}+\frac{1}{3\cdot1\cdot1}=\frac{1}{3}+\frac{1}{3}+\frac{1}{3}=1\)
vậy max A là 1 khi x=y=z=1
Với x, y>o ta có bđt \(a^3+b^3\ge ab\left(a+b\right)\Rightarrow a^3+b^3+1\ge ab\left(a+b\right)+1=ab\left(a+b\right)+abc=ab\left(a+b+c\right)\)
\(\Rightarrow\frac{1}{a^3+b^3+1}\le\frac{1}{ab\left(a+b+c\right)}=\frac{c}{a+b+c}\)
Cmtt ta được A\(\le\frac{a+b+c}{a+b+c}=1\)
Dấu = xra khi a=b=c và abc=1 =>a=b=c=1
Câu 1 chuyên phan bội châu
câu c hà nội
câu g khoa học tự nhiên
câu b am-gm dựa vào hằng đẳng thử rồi đặt ẩn phụ
câu f đặt \(a=\frac{2m}{n+p};b=\frac{2n}{p+m};c=\frac{2p}{m+n}\)
Gà như mình mấy câu còn lại ko bt nha ! để bạn tth_pro full cho nhé !
Câu c quen thuộc, chém trước:
Ta có BĐT phụ: \(\frac{x^3}{x^3+\left(y+z\right)^3}\ge\frac{x^4}{\left(x^2+y^2+z^2\right)^2}\) \((\ast)\)
Hay là: \(\frac{1}{x^3+\left(y+z\right)^3}\ge\frac{x}{\left(x^2+y^2+z^2\right)^2}\)
Có: \(8(y^2+z^2) \Big[(x^2 +y^2 +z^2)^2 -x\left\{x^3 +(y+z)^3 \right\}\Big]\)
\(= \left( 4\,x{y}^{2}+4\,x{z}^{2}-{y}^{3}-3\,{y}^{2}z-3\,y{z}^{2}-{z}^{3 } \right) ^{2}+ \left( 7\,{y}^{4}+8\,{y}^{3}z+18\,{y}^{2}{z}^{2}+8\,{z }^{3}y+7\,{z}^{4} \right) \left( y-z \right) ^{2} \)
Từ đó BĐT \((\ast)\) là đúng. Do đó: \(\sqrt{\frac{x^3}{x^3+\left(y+z\right)^3}}\ge\frac{x^2}{x^2+y^2+z^2}\)
\(\therefore VT=\sum\sqrt{\frac{x^3}{x^3+\left(y+z\right)^3}}\ge\sum\frac{x^2}{x^2+y^2+z^2}=1\)
Done.
Ta có x3 + y3 - xy(x + y) = (x + y)(x - y)2 >= 0
<=> x3 + y3 >= xy(x + y)
<=> x3 + y3 + 1 >= xy(x+y+z)
<=> \(\frac{1}{x^3+y^3+1}\le\frac{1}{xy\left(x+y+z\right)}\)
Tương tự
\(\frac{1}{x^3+z^3+1}\le\frac{1}{xz\left(x+y+z\right)}\)
\(\frac{1}{y^3+z^3+1}\le\frac{1}{yz\left(x+y+z\right)}\)
Từ đó ta có VT \(\le\)\(\frac{1}{xy\left(x+y+z\right)}+\frac{1}{xz\left(x+y+z\right)}+\frac{1}{yz\left(x+y+z\right)}\)
= 1 (qui đồng là ra nha)
Vậy GTLN là 1 đạt được khi x = y = z = 1
3/2 mình nghĩ là thế