Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
ĐKXĐ: ...
Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}\sqrt{x+1}=a\ge0\\\sqrt{y-3}=b\ge0\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a-b=m\\a^2-1+b^2+3=2\left(m+1\right)\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=b+m\\a^2+b^2=2m\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\left(b+m\right)^2+b^2=2m\)
\(\Leftrightarrow2b^2+2m.b+m^2-2m=0\) (1)
Hệ đã cho có nghiệm khi và chỉ khi (1) có ít nhất 1 nghiệm không âm
Để (1) có nghiệm \(\Leftrightarrow\Delta'=m^2-2\left(m^2-2m\right)\ge0\Rightarrow0\le m\le4\)
Để (1) có 2 nghiệm đều âm \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}b_1+b_2=-\frac{m}{2}< 0\\b_1b_2=\frac{m^2-2m}{2}>0\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m>0\\\left[{}\begin{matrix}m< 0\\m>2\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow m>2\)
Vậy để hệ đã cho có nghiệm \(\Leftrightarrow0\le m\le2\)
Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}\sqrt{x}=a\ge0\\\sqrt{y}=b\ge0\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a+b=1\\a^3+b^3=1-3m\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a+b=1\\\left(a+b\right)^3-3ab\left(a+b\right)=1-3m\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a+b=1\\ab=m\end{matrix}\right.\)
Để hệ đã cho có nghiệm
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}1\ge4m\\1>0\\m\ge0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow0\le m\le\frac{1}{4}\)
ĐKXĐ: ....
Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}\sqrt{x}=a\ge0\\\sqrt{y}=b\ge0\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a+b=m\\a^2+b^2-ab=m\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a+b=m\\\left(a+b\right)^2-3ab=m\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a+b=m\\ab=\frac{m^2-m}{3}\end{matrix}\right.\)
Hệ đã cho có nghiệm khi và chỉ khi: \(t^2-m.t+\frac{m^2-m}{3}=0\) có 2 nghiệm ko âm
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\Delta=m^2-\frac{4}{3}\left(m^2-m\right)\ge0\\t_1+t_2=m\ge0\\t_1t_2=\frac{m^2-m}{3}\ge0\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}4m-m^2\ge0\\m\ge0\\m\left(m-1\right)\ge0\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}0\le m\le4\\m\ge0\\\left[{}\begin{matrix}m\le0\\m\ge1\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}m=0\\1\le m\le4\end{matrix}\right.\)
ĐKXĐ: ...
Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}\sqrt{x+1}=a\ge0\\\sqrt{y+1}=b\ge0\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a+b=3\\\left(a^2-1\right)b+\left(b^2-1\right)a+a+b=m\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a+b=3\\a^2b+ab^2=m\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a+b=3\\ab\left(a+b\right)=m\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a+b=3\\ab=\frac{m}{3}\end{matrix}\right.\)
Hệ đã cho có nghiệm khi và chỉ khi pt:
\(\left\{{}\begin{matrix}\frac{m}{3}\ge0\\\left(a+b\right)^2\ge4ab\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m\ge0\\9\ge\frac{4m}{3}\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow0\le m\le\frac{27}{4}\)
Câu 1.
Điều kiện: \(x^2\ge2y+1\)
Từ $(1)$ ta được \(\left(x^2-2y\right)\left(x-y\right)=0\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x^2=2y\left(L\right)\\x=y\end{matrix}\right.\)
Khi đó $(2)$ \(\Leftrightarrow2\sqrt{x^2-2x-1}+\sqrt[3]{x^3-14}=x-2\Leftrightarrow2\sqrt{x^2-2x-1}+\sqrt[3]{x^3-14}-\left(x-2\right)=0\)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow 2\sqrt {{x^2} - 2x - 1} + \dfrac{{{x^3} - 14 - {{\left( {x - 2} \right)}^3}}}{{\sqrt[3]{{{{\left( {{x^3} - 14} \right)}^2}}} + \sqrt[3]{{\left( {{x^3} - 14} \right)}}\left( {x - 2} \right) + {{\left( {x - 2} \right)}^2}}} = 0\\ \Leftrightarrow 2\sqrt {{x^2} - 2x + 1} + \dfrac{{6{x^2} - 12x - 6}}{{\sqrt[3]{{{{\left( {{x^3} - 14} \right)}^2}}} + \sqrt[3]{{\left( {{x^3} - 14} \right)}}\left( {x - 2} \right){{\left( {x - 2} \right)}^2}}} = 0\\ \Leftrightarrow 2\sqrt {{x^2} - 2x + 1} \left[ {1 + \dfrac{{3\sqrt {{x^2} - 2x - 1} }}{{\sqrt[3]{{{{\left( {{x^3} - 14} \right)}^2}}} + \sqrt[3]{{\left( {{x^3} - 14} \right)}}\left( {x - 2} \right){{\left( {x - 2} \right)}^2}}}} \right] = 0 \Leftrightarrow \sqrt {{x^2} - 2x - 1} = 0 \end{array} \)
Từ đó ta được \(x^2-2x-1=0\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=1+\sqrt{2}\Rightarrow y=1+\sqrt{2}\\x=1-\sqrt{2}\Rightarrow y=1-\sqrt{2}\end{matrix}\right.\)
Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm $(x;y)=$\(\left\{\left(1+\sqrt{2};1+\sqrt{2}\right),\left(1-\sqrt{2};1-\sqrt{2}\right)\right\}\)
Câu 2.
Điều kiện: \(y \ge 0,x \ge -2\)
Từ phương trình $(1)$ tương đương:
$$2\sqrt{x+y^2+y+3}=3\sqrt{y}+\sqrt{x+2}$$
Ta có:
$$3\sqrt y + \sqrt {x + 2} = \sqrt 3 .\sqrt {3y} + 1.\sqrt {x + 2} \le 2\sqrt {3y + x + 2}$$
Ta chứng minh:
$$2\sqrt {3y + x + 2} \le 2\sqrt {x + {y^2} + y + 3} \Leftrightarrow {\left( {y - 1} \right)^2} \ge 0$$
Đẳng thức xảy ra khi $y=1$ và \(\sqrt{y}=\sqrt{x+2}\Rightarrow x=-1\)
Thay vào phương trình $(2)$ thấy thỏa mãn.
Vậy nghiệm hệ phương trình $(x;y)=(-1;1)$
3.
ĐKXĐ: ...
Trừ vế cho vế ta được:
\(2x-2y=y-x+\sqrt{y-2}-\sqrt{x-2}\)
\(\Leftrightarrow3\left(x-y\right)+\sqrt{x-2}-\sqrt{y-2}=0\)
\(\Leftrightarrow3\left(x-y\right)+\frac{x-y}{\sqrt{x-2}+\sqrt{y-2}}=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)\left(3+\frac{1}{\sqrt{x-2}+\sqrt{y-2}}\right)=0\)
\(\Leftrightarrow x=y\) (ngoặc to luôn dương)
Thay vào pt đầu:
\(2x-2=x+\sqrt{x-2}\)
\(\Leftrightarrow x-2=\sqrt{x-2}\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x-2=0\\x-2=1\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=y=2\\x=y=3\end{matrix}\right.\)
ĐKXĐ: \(\left\{{}\begin{matrix}x\ge-2\\y\ge-3\end{matrix}\right.\)
Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}\sqrt{x+2}=a\ge0\\\sqrt{y+3}=b\ge0\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a+b=m\\a^2-2+b^2-3=2m-5\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a+b=m\\a^2+b^2=2m\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow a^2+\left(m-a\right)^2=2m\)
\(\Leftrightarrow2a^2-2m.a+m^2-2m=0\) (1)
Hệ đã cho có nghiệm khi và chỉ khi (1) có 2 nghiệm không âm
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\Delta'=m^2-2\left(m^2-2m\right)\ge0\\a_1+a_2=m\ge0\\a_1a_2=\dfrac{m^2-2m}{2}\ge0\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}0\le m\le4\\m\ge0\\\left[{}\begin{matrix}m\ge2\\m\le0\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}m=0\\2\le m\le4\end{matrix}\right.\)