Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Ta có : \(y'=4x^3+12mx^2+6\left(m+1\right)x=2x\left(2x^2+6mx+3\left(m+1\right)\right)\)
\(\Rightarrow y'=0\Leftrightarrow x=0\) hoặc
\(\Leftrightarrow f\left(x\right)=2x^2+6mx+3m+3=0\)
a) Hàm số có 3 cực trị khi và chỉ khi \(f\left(x\right)\) có 2 nghiệm phân biệt khác 0
\(\Leftrightarrow\begin{cases}\Delta'=3\left(3m^2-2m-2\right)>0\\f\left(0\right)\ne0\end{cases}\)\(\Leftrightarrow\begin{cases}m< \frac{1-\sqrt{7}}{3}\cup m>\frac{1+\sqrt{7}}{3}\\m\ne-1\end{cases}\)
b) Hàm số chỉ có cực tiểu mà không có cực đại
\(\Leftrightarrow\) hàm số không có 3 cực trị \(\Leftrightarrow\frac{1-\sqrt{7}}{3}\le m\le\frac{1+\sqrt{7}}{3}\)
Ta có : \(y'=3x^2-6x+m^2\Rightarrow y'=0\Leftrightarrow3x^2-6x+m^2=0\left(1\right)\)
Hàm số có cực trị \(\Leftrightarrow\left(1\right)\) có 2 nghiệm phân biệt \(x_1;x_2\)
\(\Leftrightarrow\Delta'=3\left(3-m^2\right)>0\Leftrightarrow-\sqrt{3}< m< \sqrt{3}\)
Phương trình đường thẳng d' đi qua các điểm cực trị là : \(y=\left(\frac{2}{3}m^2-2\right)x+\frac{1}{3}m^2\)
=> Các điểm cực trị là :
\(A\left(x_1;\left(\frac{2}{3}m^2-2\right)x_1+\frac{1}{3}m^2+3m\right);B\left(x_2;\left(\frac{2}{3}m^2-2\right)x_2+\frac{1}{3}m^2+3m\right);\)
Gọi I là giao điểm của hai đường thẳng d và d' :
\(\Rightarrow I\left(\frac{2m^2+6m+15}{15-4m^2};\frac{11m^2+3m-30}{15-4m^2}\right)\)
A và B đối xứng đi qua d thì trước hết \(d\perp d'\Leftrightarrow\frac{2}{3}m^2-2=-2\Leftrightarrow m=0\)
Khi đó \(I\left(1;-2\right);A\left(x_1;-2x_1\right);B\left(x_2;-2x_2\right)\Rightarrow I\) là trung điểm của AB=> A và B đối xứng nhau qua d
Vậy m = 0 là giá trị cần tìm
- Với \(m=-1\) không thỏa mãn
- Với \(m\ne-1\)
\(y'=3\left(m+1\right)x^2-6x-\left(m+1\right)\)
\(\Delta'=9+3\left(m+1\right)^2>0;\forall m\)
\(\Rightarrow\) Hàm luôn có cực đại, cực tiểu với \(m\ne-1\)
(Không thấy đáp án nào liên quan tới -1 cả)
Hàm số có cực đại, cực tiểu khi m<2. Tọa độ các điểm cực trị là :
\(A\left(0;m^2-5m+5\right);B\left(\sqrt{2-m};1-m\right);C\left(-\sqrt{2-m};1-m\right)\)
Lời giải:
Viết lại hàm số: \(y=\frac{1}{3}mx^3-(m-1)x^2+3(m-2)x+\frac{1}{3}\)
Ta có \(y'=mx^2-2(m-1)x+3(m-2)\)
a) Trước tiên, để hàm số đạt cực trị tại $x=0$ thì $x=0$ phải là nghiệm của pt \(y'=0\Leftrightarrow 3(m-2)=0\Leftrightarrow m=2\)
Thử lại: \(y'=2x^2-2x\)
\(y'=0\Leftrightarrow x=0\) hoặc \(x=1\). Lập bảng biến thiên ta thấy đúng là $y$ cực đại tại $x=0$
Vậy $m=2$
b) Tương tự như phần a, để hàm số đạt cực trị tại $x=-1$ thì $x=-1$ phải là nghiệm của pt \(y'=0\)
\(\Leftrightarrow m(-1)^2-2(m-1)(-1)+3(m-2)=0\)
\(\Leftrightarrow m=\frac{4}{3}\)
Thử lại: \(y'=\frac{4}{3}x^2-\frac{2}{3}x-2\). Có \(y'=0\Leftrightarrow x=\frac{3}{2}\) hoặc $x=-1$. Lập bảng biến thiên ta thấy $y$ cực tiểu tại $x=\frac{3}{2}$ chứ không phải tại $x=-1$
Vậy không tồn tại $m$ thỏa mãn.
c) Hàm số có cực đại và cực tiểu khi $y'=0$ có hai nghiệm phân biệt.
Hay $mx^2-2(m-1)x+3(m-2)=0$ có hai nghiệm phân biệt
Do đó \(\left\{\begin{matrix} m\neq 0\\ \Delta'=(m-1)^2-3m(m-2)>0\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} m\neq 0\\ -2m^2+4m+1>0\Leftrightarrow \frac{2-\sqrt{6}}{2}< m< \frac{2+\sqrt{6}}{2}\end{matrix}\right.\)
d) Điểm cực trị của hàm số chính là nghiệm của $y'=0$
Với ĐKXĐ như phần c, áp dụng hệ thức Viete:
\(\left\{\begin{matrix} x_1+x_2=\frac{2(m-1)}{m}\\ x_1x_2=\frac{3(m-2)}{m}\end{matrix}\right.\)
Nếu \(x_1+2x_2=1\Rightarrow x_2=1-(x_1+x_2)=\frac{2-m}{m}\)
Mà \(x_1x_2=\frac{3(m-2)}{m}\Rightarrow x_1=-3\)
Khi đó: \(1=x_1+2x_2=-3+\frac{2-m}{m}=-4+\frac{2}{m}\Rightarrow m=\frac{2}{5}\)
Thử lại thấy thỏa mãn đkxđ. Vậy $m=\frac{2}{5}$
\(y'=3\left(m-1\right)x^2-6x-\left(m+1\right)\)
Hàm có cực đại và cực tiểu khi và chỉ khi \(y'=0\) có 2 nghiệm pb
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}3\left(m-1\right)\ne0\\\Delta'=9+3\left(m-1\right)\left(m+1\right)>0\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m\ne1\\m^2>-2\left(\text{luôn đúng}\right)\end{matrix}\right.\)
Vậy \(m\ne1\)
Đề đúng là \(y=mx^2+2\left(m^2-5\right)x^4+4\) chứ bạn (nghĩa là ko bị nhầm lẫn vị trí \(x^2\) và \(x^4\))
Hàm có đúng 2 điểm cực đại và 1 điểm cực tiểu khi:
\(\left\{{}\begin{matrix}2\left(m^2-5\right)< 0\\2\left(m^2-5\right).m< 0\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow0< m< \sqrt{5}\)
\(\Rightarrow\) có 2 giá trị nguyên của m thỏa mãn
Ta có:
\(y'=x^2-2mx+m^2-4\)
\(y''=2x-2m,\forall x\in R\)
Để hàm số \(y=\dfrac{1}{3}x^3-mx^2+\left(m^2-4\right)x+3\) đạt cực đại tại x = 3 thì:
\(\left\{{}\begin{matrix}y'\left(3\right)=0\\y''\left(3\right)< 0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m^2-6m+5=0\\6-2m< 0\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}m=1,m=5\\m>3\end{matrix}\right.\Leftrightarrow m=5\)
=> B.
\(y=x^4-2\left(m^2-m+1\right)x+m-1\)
\(y'=4x^3-4\left(m^2-m+1\right)x\)
\(y'=0\Leftrightarrow4x^3-4\left(m^2-m+1\right)x=0\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x=0\\x=\pm\sqrt{m^2-m+1}\end{cases}}\)
Khoảng cách giữa hai điểm cực tiểu là:
\(2\sqrt{m^2-m+1}=2\sqrt{\left(m-\frac{1}{2}\right)^2+\frac{3}{4}}\ge2\sqrt{\frac{3}{4}}\)
Dấu \(=\)khi \(m-\frac{1}{2}=0\Leftrightarrow m=\frac{1}{2}\).
Ta có: y ' = - 3 x 2 + 2 ( 2 m - 1 ) x + m - 2 ( * )
Để hàm số đã cho có cực đại và cực tiểu khi và chỉ khi: phương trình có hai nghiệm phân biệt và y’ đổi dấu khi qua các nghiệm đó.
Chọn C.