K
Khách

Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.

2 tháng 10 2019

Áp dụng BĐT Mincopxki và AM - GM ta có :

\(P=\sqrt{x^2+\frac{1}{x^2}}+\sqrt{y^2+\frac{1}{y^2}}+\sqrt{z^2+\frac{1}{z^2}}\)

\(\ge\sqrt{\left(x+y+z\right)^2+\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)^2}\)

\(\ge\sqrt{\left(x+y+z\right)^2+\left(\frac{9}{x+y+z}\right)^2}\)

\(\ge\sqrt{\left(x+y+z\right)^2+\frac{81}{\left(x+y+z\right)^2}}\)

\(\ge\sqrt{\left(x+y+z\right)^2+\frac{1}{\left(x+y+z\right)^2}+\frac{80}{\left(x+y+z\right)^2}}\)

\(\ge\sqrt{\sqrt[2]{\left(x+y+z\right)^2.\frac{1}{\left(x+y+z\right)^2}+80}}\)

\(\ge\sqrt{2+80}=\sqrt{82}\)

Đẳng thức xảy ra khi \(x=y=z=\frac{1}{3}\)

Chúc bạn học tốt !!!

NV
3 tháng 11 2020

\(A=\frac{1.\sqrt{x-1}}{x}+\frac{\sqrt{2}.\sqrt{y-2}}{\sqrt{2}y}+\frac{\sqrt{3}.\sqrt{z-3}}{\sqrt{3}z}\)

\(A\le\frac{1}{2}\left(\frac{1+x-1}{x}+\frac{2+y-2}{\sqrt{2}y}+\frac{3+z-3}{\sqrt{3}z}\right)=\frac{1}{2}\left(1+\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}}\right)\)

Dấu "=" xảy ra khi \(\left(x;y;z\right)=\left(2;4;6\right)\)

9 tháng 4 2021

ĐỊT MẸ

9 tháng 2 2017

Áp dụng bất đẳng thức cộng mẫu số

\(\Rightarrow\frac{x^2}{x+\sqrt{yz}}+\frac{y^2}{y+\sqrt{xz}}+\frac{z^2}{z+\sqrt{xy}}\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{x+y+z+\sqrt{yz}+\sqrt{xz}+\sqrt{xy}}\)

Xét \(\frac{\left(x+y+z\right)^2}{x+y+z+\sqrt{yz}+\sqrt{xz}+\sqrt{xy}}\)

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho 2 bộ số thực không âm

\(\Rightarrow\left\{\begin{matrix}\sqrt{yz}\le\frac{y+z}{2}\\\sqrt{xz}\le\frac{x+z}{2}\\\sqrt{xy}\le\frac{x+y}{2}\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\sqrt{yz}+\sqrt{xz}+\sqrt{xy}\le\frac{y+z}{2}+\frac{x+z}{2}+\frac{x+y}{2}\)

\(\Rightarrow\sqrt{yz}+\sqrt{xz}+\sqrt{xy}\le\frac{2\left(x+y+z\right)}{2}\)

\(\Rightarrow\sqrt{yz}+\sqrt{xz}+\sqrt{xy}\le x+y+z\)

\(\Rightarrow x+y+z+\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{xz}\le2\left(x+y+z\right)\)

\(\Rightarrow\frac{\left(x+y+z\right)^2}{x+y+z+\sqrt{xy}+\sqrt{xz}+\sqrt{yz}}\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{2\left(x+y+z\right)}=\frac{x+y+z}{2}\)

Ta có: \(x+y+z\ge3\)

\(\Rightarrow\frac{x+y+z}{2}\ge\frac{3}{2}\)

\(\Rightarrow\frac{\left(x+y+z\right)^2}{x+y+z+\sqrt{xy}+\sqrt{xz}+\sqrt{yz}}\ge\frac{3}{2}\)

\(\frac{x^2}{x+\sqrt{yz}}+\frac{y^2}{y+\sqrt{xz}}+\frac{z^2}{z+\sqrt{xy}}\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{x+y+z+\sqrt{yz}+\sqrt{xz}+\sqrt{xy}}\)

\(\Rightarrow\frac{x^2}{x+\sqrt{yz}}+\frac{y^2}{y+\sqrt{xz}}+\frac{z^2}{z+\sqrt{xy}}\ge\frac{3}{2}\) ( đpcm )

CHO a,b,c>0 thỏa mãn: \(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2\ge a^2+b^2+c^2\)CMR: \(\frac{a^2b^2}{c^3\left(a^2+b^2\right)}+\frac{b^2c^2}{a^3\left(b^2+c^2\right)}+\frac{c^2a^2}{b^3\left(a^2+c^2\right)}\ge\frac{\sqrt{3}}{2}\)ĐẶT \(A=\frac{a^2b^2}{c^3\left(a^2+b^2\right)}+\frac{b^2c^2}{a^3\left(b^2+c^2\right)}+\frac{c^2a^2}{b^3\left(c^2+a^2\right)}\)ĐẶT:\(\frac{1}{a}=x,\frac{1}{y}=b,\frac{1}{z}=c\)\(\Rightarrow x^2+y^2+z^2\ge1\)\(\Rightarrow...
Đọc tiếp

CHO a,b,c>0 thỏa mãn: \(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2\ge a^2+b^2+c^2\)

CMR: \(\frac{a^2b^2}{c^3\left(a^2+b^2\right)}+\frac{b^2c^2}{a^3\left(b^2+c^2\right)}+\frac{c^2a^2}{b^3\left(a^2+c^2\right)}\ge\frac{\sqrt{3}}{2}\)

ĐẶT \(A=\frac{a^2b^2}{c^3\left(a^2+b^2\right)}+\frac{b^2c^2}{a^3\left(b^2+c^2\right)}+\frac{c^2a^2}{b^3\left(c^2+a^2\right)}\)

ĐẶT:\(\frac{1}{a}=x,\frac{1}{y}=b,\frac{1}{z}=c\)

\(\Rightarrow x^2+y^2+z^2\ge1\)

\(\Rightarrow A=\frac{x^3}{y^2+z^2}+\frac{y^3}{z^2+x^2}+\frac{z^3}{z^2+y^2}\)

TA CÓ:

\(x\left(y^2+z^2\right)=\frac{1}{\sqrt{2}}\sqrt{2x^2\left(y^2+z^2\right)\left(y^2+z^2\right)}\le\frac{1}{\sqrt{2}}\sqrt{\frac{\left(2x^2+2y^2+2z^2\right)^3}{27}}=\frac{2}{3\sqrt{3}}\left(x^2+y^2+z^2\right)\sqrt{x^2+y^2+z^2}\)TƯƠNG TỰ:

\(y\left(x^2+z^2\right)\le\frac{2}{3\sqrt{3}}\left(x^2+y^2+z^2\right)\sqrt{x^2+y^2+z^2},z\left(x^2+y^2\right)\le\frac{2}{3\sqrt{3}}\left(x^2+y^2+z^2\right)\sqrt{x^2+y^2+z^2}\)LẠI CÓ:
\(A=\frac{x^3}{y^2+z^2}+\frac{y^3}{x^2+z^2}+\frac{z^3}{x^2+y^2}=\frac{x^4}{x\left(y^2+z^2\right)}+\frac{y^4}{y\left(x^2+z^2\right)}+\frac{z^4}{z\left(x^2+y^2\right)}\ge\frac{\left(x^2+y^2+z^2\right)^2}{x\left(y^2+z^2\right)+y\left(x^2+z^2\right)+z\left(x^2+y^2\right)}\ge\frac{1}{3.\frac{2}{3\sqrt{3}}\left(x^2+y^2+z^2\right)\sqrt{x^2+y^2+z^2}} \)\(\ge\frac{\sqrt{3}}{2}\sqrt{x^2+y^2+z^2}\ge\frac{\sqrt{3}}{2}\)

DẤU BẰNG XẢY RA\(\Leftrightarrow x=y=z=\frac{1}{\sqrt{3}}\Rightarrow DPCM\)

 

2
10 tháng 9 2018

tự ra câu hởi tự trả lời à bạn

10 tháng 9 2018

tại tui trả lời bài này cho 1 bạn ở trên facebook nên phải chụp màn hình lại nên làm v á

1 tháng 1 2020

\(\left(1.x+9.\frac{1}{y}\right)^2\le\left(1^2+9^2\right)\left(x^2+\frac{1}{y^2}\right)\Rightarrow\sqrt{x^2+\frac{1}{y^2}}\)

\(\ge\frac{1}{\sqrt{82}}\left(x+\frac{9}{y}\right)\)

\(TT:\sqrt{y^2+\frac{1}{z^2}}\ge\frac{1}{\sqrt{82}}\left(x+\frac{9}{z}\right);\sqrt{z^2+\frac{1}{x^2}}\ge\frac{1}{\sqrt{82}}\left(z+\frac{9}{x}\right)\)

\(S\ge\frac{1}{\sqrt{82}}\left(x+y+z+\frac{9}{x}+\frac{9}{y}+\frac{9}{z}\right)\)

\(\ge\frac{1}{\sqrt{82}}\left(x+y+z+\frac{81}{x+y+z}\right)\)

\(=\frac{1}{\sqrt{82}}\left[\left(x+y+z+\frac{1}{x+y+z}\right)+\frac{80}{x+y+z}\right]\ge\sqrt{82}\)

21 tháng 5 2019

nhìn số 82 = 92 + 1 mà nghĩ ra p2

21 tháng 5 2019

Ta có :

\(\left(1.x+9.\frac{1}{y}\right)^2\le\left(1^2+9^2\right)\left(x^2+\frac{1}{y^2}\right)\Rightarrow\sqrt{x^2+\frac{1}{y^2}}\ge\frac{1}{\sqrt{82}}\left(x+\frac{9}{y}\right)\)

tương tự : \(\sqrt{y^2+\frac{1}{z^2}}\ge\frac{1}{\sqrt{82}}.\left(y+\frac{9}{z}\right)\); \(\sqrt{z^2+\frac{1}{x^2}}\ge\frac{1}{\sqrt{82}}.\left(z+\frac{9}{x}\right)\)

\(\Rightarrow\sqrt{x^2+\frac{1}{y^2}}+\sqrt{y^2+\frac{1}{z^2}}+\sqrt{z^2+\frac{1}{x^2}}\ge\frac{1}{\sqrt{82}}\left(x+y+z+\frac{9}{x}+\frac{9}{y}+\frac{9}{z}\right)\ge\frac{1}{\sqrt{82}}\left(x+y+z+\frac{81}{x+y+z}\right)\)

\(=\frac{1}{\sqrt{82}}\left[\left(x+y+z+\frac{1}{x+y+z}\right)+\frac{80}{x+y+z}\right]\ge\sqrt{82}\)