NN
0
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
LP
1
3 tháng 6 2018
\(M=\frac{2x^2+4xy+2y^2+8xy}{x+y}=\frac{2\left(x^2+2xy+y^2\right)+2\cdot4xy}{x+y}=\frac{2\left(x+y\right)^2+2\cdot1}{x+y}\)
\(=2\left(x+y\right)+\frac{2}{x+y}>=2\sqrt{2\left(x+y\right)\cdot\frac{2}{x+y}}=2\cdot\sqrt{4}=2\cdot2=4\)(bđt cosi)
dấu = xảy ra khi x=y=\(\frac{1}{2}\)
vậy min M là 4 khi \(x=y=\frac{1}{2}\)
14 tháng 8 2016
Ta có: P= \(5x^2+4xy+y^2+6x+2y+2016\)
= \(\left(4x^2+y^2+1+4x+2y+4xy\right)+\left(x^2+2x+1\right)+2014\)
= \(\left(2x+y+1\right)^2+\left(x+1\right)^2+2014\ge2014\)
(Vì \(\left(2x+y+1\right)^2\ge0;\left(x+1\right)^2\ge0\))
Dấu = khi \(\hept{\begin{cases}2x+y+1=0\\x+1=0\end{cases}< =>}\hept{\begin{cases}y=1\\x=-1\end{cases}}\)
Vậy min P =2014 khi x=-1; y=1
N
21 tháng 2 2019
C/m: \(\sqrt{2x^2+xy+2y^2}\ge\dfrac{\sqrt{5}}{2}\left(x+y\right)\)
\(\Rightarrow2x^2+xy+2y^2\ge\dfrac{5}{4}\left(x^2+2xy+y^2\right)\)
\(\Leftrightarrow8x^2+4xy+8y^2\ge5x^2+10xy+5y^2\)
\(\Leftrightarrow3\left(x-y\right)^2\ge0\left(LĐ\right)\)
Vậy \(\sqrt{2x^2+xy+2y^2}\ge\dfrac{\sqrt{5}}{2}\left(x+y\right)\)
CMTT: \(\sqrt{2y^2+yz+2z^2}\ge\dfrac{\sqrt{5}}{2}\left(y+z\right)\);
\(\sqrt{2z^2+zx+2x^2}\ge\dfrac{\sqrt{5}}{2}\left(x+z\right)\)
Vậy H=\(\sqrt{2x^2+xy+2y^2}+\sqrt{2y^2+yz+2z^2}+\sqrt{2z^2+xz+2z^2}\ge\sqrt{5}\left(x+y+z\right)=2019\)Hmin=2019\(\Leftrightarrow x=y=z=\dfrac{\dfrac{2019}{\sqrt{5}}}{3}\)
BL
1
TN
10 tháng 9 2017
\(a,A=3x^2-5x+1\)
\(=3\left(x^2-\dfrac{5}{3}x+\dfrac{25}{36}\right)-\dfrac{13}{12}\)
\(=3\left(x-\dfrac{5}{6}\right)^2-\dfrac{13}{12}\)
Với mọi giá trị của x ta có:
\(\left(x-\dfrac{5}{6}\right)^2\ge0\)
\(\Rightarrow3\left(x-\dfrac{5}{6}\right)^2-\dfrac{13}{12}\ge-\dfrac{13}{12}\)
Vậy Min \(A=-\dfrac{13}{12}\)
Để \(A=-\dfrac{13}{12}\) thì \(x-\dfrac{5}{6}=0\Rightarrow x=\dfrac{5}{6}\)
\(b,B=2x^2+5y^2-4x+2y+4xy+2017\)
\(=\left(2x^2-4x+4xy\right)+5y^2+2y+2017\)
\(=2\left(x^2-2x+2xy\right)+5y^2+2y+2017\)
\(=2\left[x^2-2x\left(1-y\right)+\left(1-y\right)^2\right]+5y^2+2y+2017+2\left(1-y\right)^2\)\(=2\left(x-1+y\right)^2+5y^2+2y+2017-2\left(1-y\right)^2\)
\(=2\left(x+y-1\right)^2+5y^2+2y+2017-2+4y-2y^2\)\(=2\left(x+y-1\right)^2+3y^2+6y+2015\)
\(=2\left(x+y-1\right)^2+3\left(y^2+2y+1\right)+2012\)
\(=2\left(x+y-1\right)^2+3\left(y+1\right)^2+2012\)
Với mọi giá trị của x ta có:
\(2\left(x+y-1\right)^2\ge0;3\left(y+1\right)^2\ge0\)
\(\Rightarrow2\left(x+y-1\right)^2+3\left(y+1\right)^2+2012\ge2012\) Vậy : Min B = 2012
Để B = 2012 thì \(\left\{{}\begin{matrix}x+y-1=0\\y+1=0\end{matrix}\right.\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=2\\y=-1\end{matrix}\right.\)
PT
1
24 tháng 11 2017
Mình đang bận nên chỉ nói hướng làm thôi nhá. GTNN thì bạn cộng trừ 1, còn GTLN thì bạn cộng trừ 6. Sau đó bạn sẽ tách ra được thành a+(2x^2+y^2)/x^2+y^2
AH
Akai Haruma
Giáo viên
16 tháng 3 2018
Lời giải:
Ta có: \(5x^2+6xy+5y^2=3(x^2+y^2+2xy)+2(x^2+y^2)\)
\(=3(x+y)^2+2(x^2+y^2)\geq 3(x+y)^2+(x+y)^2\) (theo BĐT AM-GM)
\(\Leftrightarrow 5x^2+6xy+5y^2\geq 4(x+y)^2\Rightarrow \sqrt{5x^2+6xy+5y^2}\geq 2(x+y)\)
Thực hiện tương tự với những biểu thức còn lại suy ra:
\(P\geq \frac{2(x+y)}{x+y+2z}+\frac{2(y+z)}{y+z+2x}+\frac{2(z+x)}{z+x+2y}\)
\(P\geq 2\left(\frac{x+y}{x+y+2z}+\frac{y+z}{y+z+2x}+\frac{z+x}{z+x+2y}\right)=2\left(\frac{(x+y)^2}{(x+y+2z)(x+y)}+\frac{(y+z)^2}{(y+z+2x)(y+z)}+\frac{(z+x)^2}{(z+x+2y)(z+x)}\right)\)
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz:
\(P\geq 2.\frac{(x+y+y+z+z+x)^2}{(x+y+2z)(x+y)+(y+z+2x)(y+z)+(z+x+2y)(z+x)}\)
\(\Leftrightarrow P\geq 2. \frac{4(x+y+z)^2}{2(x+y+z)^2+2(xy+yz+xz)}=\frac{4(x+y+z)^2}{(x+y+z)^2+xy+yz+xz}\)
\(\geq \frac{4(x+y+z)^2}{(x+y+z)^2+\frac{(x+y+z)^2}{3}}=3\) (theo AM-GM \(xy+yz+xz\leq \frac{(x+y+z)^2}{3}\))
Vậy \(P\geq 3\Leftrightarrow P_{\min}=3\)
Dấu bằng xảy ra khi \(x=y=z\)
AH
Akai Haruma
Giáo viên
28 tháng 5 2019
Lời giải:
PT \(\Leftrightarrow 3x^2+2x(2y-1)+(4y^2+6y+2021-T)=0\)
Coi đây là PT bậc 2 ẩn $x$.
Vì dấu "=" tồn tại nên PT trên luôn có nghiệm
\(\Rightarrow \Delta'=(2y-1)^2-3(4y^2+6y+2021-T)\geq 0\)
\(\Leftrightarrow -8y^2-22y-6062+3T\geq 0\)
\(\Leftrightarrow 3T\geq 8y^2+22y+6062\)
Mà: \(8y^2+22y+6062=8(y+\frac{11}{8})^2+\frac{48375}{8}\geq \frac{48375}{8}\)
\(\Rightarrow T\geq \frac{48375}{8}:3=\frac{16125}{8}\) (đây chính là GTNN của T)
\(\Leftrightarrow \)
VT
1
20 tháng 12 2018
A=\(5x^2+2y^2+4xy-2x+4y+2005=4x^2+4xy+y^2+x^2-2x+1+y^2+4y+4+2000=\left(2x+y\right)^2+\left(x-1\right)^2+\left(y+2\right)^2+2000\)
Ta có \(\left(2x+y\right)^2+\left(x-1\right)^2+\left(y+2\right)^2\ge0\Leftrightarrow\left(2x+y\right)^2+\left(x-1\right)^2+\left(y+2\right)^2+2000\ge2000\)
Dấu bằng xảy ra khi \(\left\{{}\begin{matrix}2x+y=0\\x-1=0\\y+2=0\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow\)\(\left\{{}\begin{matrix}x=1\\y=-2\end{matrix}\right.\)
Vậy GTNN của A là 2000