Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
2.M = 2x2 – 10x + 2y2 + 2xy – 8y + 4038 = (x2 – 10x + 25) +( y2 + 2xy + y2) + ( y2 – 8y + 16) + 3997
= (x-5)2 + (x+y)2 + (y - 4)2 + 3997 = N + 3997
Áp dụng bất đẳng thức Bu- nhi a: (ax+ by + cz)2 \(\le\) (a2+ b2 + c2). (x2 + y2 + z2). Dấu bằng xảy ra khi a/x = b/y = c/z
Ta có: [(5 - x).1 + (x+ y).1 + (y + 4).1]2 \(\le\) [(5 - x)2 + (x+y)2 + (y - 4)2 ].(1+ 1+1) = N .3 = 3.N
<=> 92 = 81 \(\le\) 3.N => N \(\ge\) 27 => 2.M \(\ge\) 27 + 3997 = 4024
=> M \(\ge\)2012
vậy Min M = 2012
khi 5 - x = x+ y = y + 4 => x = 4 ; y = -3
P = x4.y4 + x4 + y4 + 1
Ta có: x2 + y2 = (x + y)2 - 2xy = 10 - 2xy => x4 + y4 = (x2 + y2)2 - 2x2y2 = (10 - 2xy)2 - 2(xy)2 = 100 - 40xy + 2(xy)2
=> P = (xy)4 + 2(xy)2 - 40xy + 101 = [(xy)4 - 8(xy)2 + 16] + 10.[(xy)2 - 4xy + 4] + 45 = [(xy)2 - 4]2 + 10.(xy - 2)2 + 45
=> P > 45
Dấu "=" xảy ra <=> xy = 2
Mà có x + y = \(\sqrt{10}\) => x = \(\sqrt{10}\) - y => xy = \(\sqrt{10}\)y - y2 = 2 => y2 - \(\sqrt{10}\).y + 2 = 0
\(\Delta\) = 10 - 8 = 2 => \(y=\frac{\sqrt{10}+\sqrt{2}}{2}\)=> x = \(\frac{4}{\sqrt{10}+\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{10}-\sqrt{2}}{2}\)
vậy P nhỏ nhất bằng 45 khi x = \(\frac{\sqrt{10}-\sqrt{2}}{2}\); \(y=\frac{\sqrt{10}+\sqrt{2}}{2}\)
P = x4.y4 + x4 + y4 + 1
Ta có: x2 + y2 = (x + y)2 - 2xy = 10 - 2xy => x4 + y4 = (x2 + y2)2 - 2x2y2 = (10 - 2xy)2 - 2(xy)2 = 100 - 40xy + 2(xy)2
=> P = (xy)4 + 2(xy)2 - 40xy + 101 = [(xy)4 - 8(xy)2 + 16] + 10.[(xy)2 - 4xy + 4] + 45 = [(xy)2 - 4]2 + 10.(xy - 2)2 + 45
=> P > 45
Dấu "=" xảy ra <=> xy = 2
Mà có x + y = \(\sqrt{10}\) => x = \(\sqrt{10}\) - y => xy = \(\sqrt{10}\)y - y2 = 2 => y2 - \(\sqrt{10}\).y + 2 = 0
\(\Delta\) = 10 - 8 = 2 => \(y=\frac{\sqrt{10}+\sqrt{2}}{2}\)=> x = \(\frac{4}{\sqrt{10}+\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{10}-\sqrt{2}}{2}\)
vậy P nhỏ nhất bằng 45 khi x = \(\frac{\sqrt{10}-\sqrt{2}}{2}\); \(y=\frac{\sqrt{10}+\sqrt{2}}{2}\)
Áp dụng BĐT Cô-si:
X4+1\(\ge\) 2X2 Dấu = xảy ra <=> X=1
Y4 + 1\(\ge\) 2Y2 Dấu = xảy ra <=> Y=1
=> P\(\ge\) 2X2 . 2Y2+2013
\(\ge\) 4X2Y2 +2013
Vì 4X2Y2\(\ge\) 0
=> P \(\ge\) 2013
Vậy Min P= 2013 tại X=Y=1
Ta có: P= \(x^2+xy+y^2-2x-3y+2010\)
\(\Leftrightarrow\) 4P= \(4\left(x^2+xy+y^2-2x-3y+2010\right)\)
= \(4x^2+4xy+4y^2-8x-12y+8040\)
= \(\left(4x^2+y^2+4+4xy-8x-8y\right)+3y^2-8y+8036\)
= \(\left(2x+y-2\right)^2+3y^2-8y+\dfrac{16}{3}-\dfrac{16}{3}+8036\)
= \(\left(2x+y-2\right)^2+3\left(y^2-\dfrac{8}{3}y+\dfrac{16}{9}\right)+\dfrac{24092}{3}\)
= \(\left(2x+y-2\right)^2+3\left(y-\dfrac{4}{3}\right)^2+\dfrac{24092}{3}\) \(\geq\) \(\dfrac{24092}{3}\)
\(\Rightarrow\) 4P \(\geq\) \(\dfrac{24092}{3}\) \(\Rightarrow\) P \(\geq\) \(\dfrac{6023}{3}\)
Dấu = xảy ra khi \(\begin{cases} (2x+y-2)^{2}=0\\ (y-\dfrac{4}{3})^{2}=0 \end{cases} \) \(\Leftrightarrow\) \(\begin{cases} 2x+y-2=0\\ y-\dfrac{4}{3}=0 \end{cases} \) \(\Leftrightarrow\) \(\begin{cases} 2x=-(y-2)\\ y=\dfrac{4}{3} \end{cases} \) \(\Leftrightarrow\) \(\begin{cases} 2x=-(\dfrac{4}{3}-2)\\ y=\dfrac{4}{3} \end{cases} \) \(\Leftrightarrow\) \(\begin{cases} x=\dfrac{1}{3}\\ y=\dfrac{4}{3} \end{cases} \)
Từ đó suy ra Min P= \(\dfrac{6023}{3}\) khi \(\begin{cases} x=\dfrac{1}{3}\\ y=\dfrac{4}{3} \end{cases} \)
Chúc bạn học tốt.