PL
0
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
KN
8 tháng 2 2021
1. Áp dụng Min - cốp - ski, ta được: \(\sqrt{\frac{9}{\left(a+b\right)^2}+c^2}+\sqrt{\frac{9}{\left(b+c\right)^2}+a^2}+\sqrt{\frac{9}{\left(c+a\right)^2}+b^2}\)\(\ge\sqrt{\left(\frac{3}{a+b}+\frac{3}{b+c}+\frac{3}{c+a}\right)^2+\left(a+b+c\right)^2}\)\(\ge\sqrt{\left(\frac{27}{2\left(a+b+c\right)}\right)^2+\left(a+b+c\right)^2}\)(Bunyakovsky dạng phân thức)
Đặt \(t=a+b+c\le\sqrt{3\left(a^2+b^2+c^2\right)}=3\)thì ta cần chứng minh: \(\sqrt{\frac{729}{4t^2}+t^2}\ge\frac{3\sqrt{13}}{2}\Leftrightarrow\frac{729}{4t^2}+t^2\ge\frac{117}{4}\)\(\Leftrightarrow\frac{\left(t+3\right)\left(t-3\right)\left(2t+9\right)\left(2t-9\right)}{4t^2}\ge0\)*đúng bởi \(t-3\le0;t+3>0;2t+9>0;2t-9< 0;4t^2>0\)*
Đẳng thức xảy ra khi t = 3 hay a = b = c = 1
2. Ta có: \(\frac{4x^2y^2}{\left(x^2+y^2\right)^2}+\frac{x^2}{y^2}+\frac{y^2}{x^2}-3=\frac{\left(x^2-y^2\right)^2\left(x^4+y^4+x^2y^2\right)}{x^2y^2\left(x^2+y^2\right)^2}\ge0\)\(\Rightarrow\frac{4x^2y^2}{\left(x^2+y^2\right)^2}+\frac{x^2}{y^2}+\frac{y^2}{x^2}\ge3\)
Đẳng thức xảy ra khi x = y
13 tháng 7 2021
a) ĐKXĐ: \(x\ge0\); \(1-4x\ne\)0; \(2\sqrt{x}-1\ne0\); \(\frac{1+2x}{1-4x}-\frac{2\sqrt{x}}{2\sqrt{x}-1}-1\ne\)0
<=> \(x\ge0\); x \(\ne\)1/4
Ta có: \(A=\left(\frac{\sqrt{x}-4x}{1-4x}-1\right):\left(\frac{1+2x}{1-4x}-\frac{2\sqrt{x}}{2\sqrt{x}-1}-1\right)\)
\(A=\left(\frac{\sqrt{x}-4x-1+4x}{1-4x}\right):\left(\frac{1+2x+2\sqrt{x}\left(2\sqrt{x}+1\right)-1+4x}{\left(1-2\sqrt{x}\right)\left(1+2\sqrt{x}\right)}\right)\)
\(A=\frac{\sqrt{x}-1}{1-4x}\cdot\frac{1-4x}{6x+4x+2\sqrt{x}}\)
\(A=\frac{\sqrt{x}-1}{10x+2\sqrt{x}}\)
b)Với x \(\ge\)0 và x \(\ne\)1/4
Ta có: A > A2 <=> \(\frac{\sqrt{x}-1}{10x+2\sqrt{x}}>\left(\frac{\sqrt{x}-1}{10x+2\sqrt{x}}\right)^2\)
<=> \(\frac{\sqrt{x}-1}{10x+2\sqrt{x}}\cdot\left(1-\frac{\sqrt{x}-1}{10x+2\sqrt{x}}\right)>0\)
<=> \(\frac{\sqrt{x}-1}{10x+2\sqrt{x}}\cdot\frac{10x+2\sqrt{x}-\sqrt{x}+1}{10x+2\sqrt{x}}>0\)
<=> \(\frac{\sqrt{x}-1}{10x+2\sqrt{x}}\cdot\frac{10+\sqrt{x}+1}{10x+2\sqrt{x}}>0\)
<=> \(\sqrt{x}-1>0\) <=> \(x>1\)
c) Với x\(\ge\)0 và x \(\ne\)1/4 (1)
Ta có: \(\left|A\right|>\frac{1}{4}\) <=> \(\orbr{\begin{cases}A>\frac{1}{4}\\A< -\frac{1}{4}\end{cases}}\)
TH1: \(A>\frac{1}{4}\) <=> \(\frac{\sqrt{x}-1}{10x+2\sqrt{x}}>\frac{1}{4}\)
<=> \(4\left(\sqrt{x}-1\right)>10x+2\sqrt{x}\)
<=> \(4\sqrt{x}-4>10x+2\sqrt{x}\)
<=> \(10x-2\sqrt{x}+4< 0\)(vô liia vì \(10x-2\sqrt{x}+4>0\))
TH2: \(A< -\frac{1}{4}\) <=> \(\frac{\sqrt{x}-1}{10x+2\sqrt{x}}< -\frac{1}{4}\)
<=> \(4\left(\sqrt{x}-1\right)< -10x-2\sqrt{x}\)
<=> \(4\sqrt{x}-4+10x+2\sqrt{x}< 0\)
<=> \(10x+6\sqrt{x}-4< 0\)
<=> \(5x+3\sqrt{x}-2< 0\)
<=> \(\left(5\sqrt{x}-2\right)\left(\sqrt{x}+1\right)< 0\)
<=> \(x< \frac{4}{25}\) (2)
Từ (1) và (2) => \(0\le x< \frac{4}{25}\)
24 tháng 7 2017
a) A = \(\sqrt{-x^2+x+\dfrac{3}{4}}=\sqrt{1-\left(x-\dfrac{1}{2}\right)^2}\le\sqrt{1}=1\) (dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow x=\dfrac{1}{2}\))
Vậy max A = 1 (khi và chỉ khi x = \(\dfrac{1}{2}\))
b) B = \(\sqrt{\left(2x^2-x-1\right)^2+9}\ge\sqrt{9}=3\) (dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow2x^2-x-1=0\)
\(\Leftrightarrow\left(2x+1\right)\left(x-1\right)=0\)
\(\Leftrightarrow x=1;x=-\dfrac{1}{2}\)).
Vậy min B = 3 (khi và chỉ khi x = 1 hoặc x = \(-\dfrac{1}{2}\))
c) C = \(\left|5x-2\right|+\left|5x\right|=\left|2-5x\right|+\left|5x\right|\);
C \(\ge\left|2-5x+5x\right|=\left|2\right|=2\) (dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\left(2-5x\right).5x\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x\ge0\\2-5x\ge0\end{matrix}\right.\) hoặc \(\left\{{}\begin{matrix}x\le0\\2-5x\le0\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow0\le x\le\dfrac{2}{5}\)).
Vậy min C = 2 (khi và chỉ khi \(0\le x\le\dfrac{2}{5}\))
AH
Akai Haruma
Giáo viên
7 tháng 7 2021
1.
Áp dụng BĐT dạng $|a|+|b|\geq |a+b|$ ta có:
$A=|x+2|+|x+3|=|x+2|+|-x-3|\geq |x+2-x-3|=1$
Vậy GTNN của $A$ là $1$. Giá trị này đạt tại $(x+2)(-x-3)\geq 0$
$\Leftrightarrow (x+2)(x+3)\leq 0$
$\Leftrightarrow -3\leq x\leq -2$
AH
Akai Haruma
Giáo viên
7 tháng 7 2021
2. ĐKXĐ: $x\geq 1$
\(B=\sqrt{x+2\sqrt{x-1}}+\sqrt{x-2\sqrt{x-1}}=\sqrt{(x-1)+2\sqrt{x-1}+1}+\sqrt{(x-1)-2\sqrt{x-1}+1}\)
\(=\sqrt{(\sqrt{x-1}+1)^2}+\sqrt{(\sqrt{x-1}-1)^2}=|\sqrt{x-1}+1|+|\sqrt{x-1}-1|\)
\(=|\sqrt{x-1}+1|+|1-\sqrt{x-1}|\geq |\sqrt{x-1}+1+1-\sqrt{x-1}|=2\)
Vậy gtnn của $B$ là $2$. Giá trị này đạt tại $(\sqrt{x-1}+1)(1-\sqrt{x-1})\geq 0$
$\Leftrightarrow 1-\sqrt{x-1}\geq 0$
$\Leftrightarrow 0\leq x\leq 2$