Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
\(P=\left(x^4+1\right)\left(y^4+1\right)=x^4y^4+x^4+y^4+1\)
Ta có \(x^2+y^2=\left(x+y\right)^2-2xy=10-2xy\)
\(\Rightarrow x^4+y^4=\left(x^2+y^2\right)^2-2x^2y^2=\left(10-2xy\right)^2-2x^2y^2=100-40xy+2x^2y^2\)
\(\Rightarrow P=\left(xy\right)^4+101-40xy+2x^2y^2\)
\(=\left[\left(xy\right)^4-8\left(xy\right)^2+16\right]+10\left[\left(xy\right)^2-4xy+4\right]+45\)
\(=\left(x^2y^2-4\right)^2+10\left(xy-2\right)^2+45\)
\(\Rightarrow P\ge45\)
Dấu "=" xảy ra khi xy=2
Lại có \(x+y=\sqrt{10}\)
\(\Rightarrow x=\sqrt{10}-y\Rightarrow xy=\sqrt{10}y-y^2=2\)
\(\Rightarrow y^2-\sqrt{10y}+2=0\)
Ta có \(\Delta=10-8=2\)
\(\Rightarrow y=\frac{\sqrt{10}+\sqrt{2}}{2}\)
\(\Rightarrow x=\frac{4}{\sqrt{10}+\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{10}-\sqrt{2}}{2}\)
Vậy giá trị nhỏ nhất của P là 45 khi \(\hept{\begin{cases}x=\frac{\sqrt{10}-\sqrt{2}}{2}\\y=\frac{\sqrt{10}+\sqrt{2}}{2}\end{cases}}\)
x,y>0 => theo bdt AM-GM thì x+y >/ 2 căn (xy)=2 , x^2+y^2 >/ 2xy=2 (do xy=1)
P=(x+y+1)(x^2+y^2)+4/(x+y)
>/ 2(x+y+1)+4/(x+y)=[(x+y)+4/(x+y)]+(x+y+2)
x,y>0=>x+y>0 => theo bdt AM-GM thì P >/ 2.2+2+2=8
minP=8
\(K=\frac{1}{x^2+y^2}+\frac{1}{2xy}+\frac{3}{2xy}+24xy-20xy\)
\(\ge\frac{4}{\left(x+y\right)^2}+12-\frac{20\left(x+y\right)^2}{4}=11\)
Check xem có sai chỗ nào ko:v
Trời! Chứng minh vậy đọc ai hiểu được chời :)))
Vì \(\frac{1}{x^2+y^2}+\frac{1}{2xy}=\frac{1^2}{x^2+y^2}+\frac{1^2}{2xy}\ge\frac{\left(1+1\right)^2}{x^2+2xy+y^2}=\frac{4}{\left(x+y\right)^2}\)
\(\frac{3}{2xy}+24xy\ge2\sqrt{\frac{3}{2xy}.24xy}=12\)
Lại quên dấu bằng xảy ra kìa em.
"=" xảy ra <=> x=y=1/2
1. Ta có: \(x^2-2xy-x+y+3=0\)
<=> \(x^2-2xy-2.x.\frac{1}{2}+2.y.\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+y^2-y^2-\frac{1}{4}+3=0\)
<=> \(\left(x-y-\frac{1}{2}\right)^2-y^2=-\frac{11}{4}\)
<=> \(\left(x-2y-\frac{1}{2}\right)\left(x-\frac{1}{2}\right)=-\frac{11}{4}\)
<=> \(\left(2x-4y-1\right)\left(2x-1\right)=-11\)
Th1: \(\hept{\begin{cases}2x-4y-1=11\\2x-1=-1\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=0\\y=-3\end{cases}}\)
Th2: \(\hept{\begin{cases}2x-4y-1=-11\\2x-1=1\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=1\\y=3\end{cases}}\)
Th3: \(\hept{\begin{cases}2x-4y-1=1\\2x-1=-11\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=-5\\y=-3\end{cases}}\)
Th4: \(\hept{\begin{cases}2x-4y-1=-1\\2x-1=11\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=6\\y=3\end{cases}}\)
Kết luận:...
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz , ta có : \(3.\left(x^4+y^4+z^4\right)\ge\left(x^2+y^2+z^2\right)^2\), do đó : \(0\ge\left(x^2+y^2+z^2\right)^2-7\left(x^2+y^2+z^2\right)+12\)
\(\Rightarrow x^2+y^2+z^2\ge3\), áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz , ta lại có :
\(P=\frac{x^2}{y+2z}+\frac{y^2}{z+2x}+\frac{z^2}{x+2y}\)
\(=\frac{x^4}{x^2y+2zx^2}+\frac{y^4}{y^2z+2xy^2}+\frac{z^4}{z^2x+2yz^2}\ge\frac{\left(x^2+y^2+z^2\right)^2}{x^2y+y^2z+z^2x+2\left(xy^2+yz^2+zx^2\right)}\)
Tiếp tục sử dụng BĐT Cauchy-Schwarz và kết hợp BĐT quen thuộc \(ab+bc+ca\le\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}\), ta có :
\(x^2y+y^2z+z^2x\le\sqrt{\left(x^2+y^2+z^2\right).\left(x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2\right)}\)
\(\le\sqrt{\left(x^2+y^2+z^2\right).\left(\frac{\left(x^2+y^2+z^2\right)^2}{3}\right)}\)
\(=\left(x^2+y^2+z^2\right).\sqrt{\frac{\left(x^2+y^2+z^2\right)}{3}}\)
Tương tự , chứng minh đc :
\(2.\left(xy^2+yz^2+zx^2\right)\le2\left(x^2+y^2+z^2\right)\sqrt{\frac{\left(x^2+y^2+z^2\right)}{3}}\)
\(\Rightarrow P\ge\frac{\left(x^2+y^2+z^2\right)^2}{3.\left(x^2+y^2+z^2\right)\sqrt{\frac{\left(x^2+y^2+z^2\right)}{3}}}\)
\(=\sqrt{\frac{x^2+y^2+z^2}{3}}\)
\(\ge1\)
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x = y = z = 1 nên giá trị nhỏ nhất của P là 1
Vì \(x^4\ge0\forall x;y^4\ge0\forall y\)
\(\Rightarrow P\ge0\forall x\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow x^4+y^4=0\)
\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x^4=0\\y^4=0\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=0\\y=0\end{cases}\Leftrightarrow}x=y=0}\)
Vậy \(P_{min}=0\Leftrightarrow x=y=0\)
Bạn ơi x,y nguyên dương nhé