Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
x2+2y2-2xy-2y-2x+5=0
<=>(x2-2xy+y2-2x+2y+1)+(y2-4y+4)=0
<=>(x-y-1)2+(y-2)2=0
Do (x-y-1)2\(\ge\)0
(y-2)2\(\ge\)0
=>Phương trình tương đương \(\left\{{}\begin{matrix}x-y-1=0\\y-2=0\end{matrix}\right.\)
<=>\(\left\{{}\begin{matrix}y=2\\x=3\end{matrix}\right.\)
\(x^2+2y^2-2xy-2y-2x+5=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x^2-2xy-2x+y^2+2y+1\right)+\left(y^2-4y+4\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x-y-1\right)^2+\left(y-2\right)^2=0\)
Dễ thấy: \(\left\{{}\begin{matrix}\left(x-y-1\right)^2\ge0\ge x,y\\\left(y-2\right)^2\ge0\forall y\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\left(x-y-1\right)^2+\left(y-2\right)^2\ge0\forall x,y\)
Đẳng thức xảy ra khi \(\left\{{}\begin{matrix}\left(x-y-1\right)^2=0\\\left(y-2\right)^2=0\forall\end{matrix}\right.\)\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=3\\y=2\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow x^2+2y+1+y^2+2z+1+z^2+2x+1=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x+1\right)^2+\left(y+1\right)^2+\left(z+1\right)^2=0\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=...\\y=...\\z=...\end{matrix}\right.\)
\(P=\frac{1}{x^3\left(2y-x\right)}+x\left(2y-x\right)-x\left(2y-x\right)+x^2+y^2\)
\(P\ge\frac{2}{x}-2xy+2x^2+y^2\)
\(P\ge\frac{1}{x}+\frac{1}{x}+x^2+\left(x-y\right)^2\ge3+\left(x-y\right)^2\ge3\)
Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=1\)
Lời giải:
Với $x,y$ là các số thực dương, áp dụng BĐT Cauchy ta có:
\(x^2+y^2\geq 2xy\)
\(\Rightarrow \frac{1}{x^3(2y-x)}+x^2+y^2\geq \frac{1}{x^3(2y-x)}+2xy(1)\)
$2y>x$ nên $2y-x>0$. Tiếp tục áp dụng BĐT Cauchy cho các số dương ta có:
\(\frac{1}{x^3(2y-x)}+2xy=\frac{1}{x^3(2y-x)}+x(2y-x)+x^2\geq 3\sqrt[3]{\frac{1}{x^3(2y-x)}.x(2y-x).x^2}=3(2)\)
Từ \((1);(2)\Rightarrow \frac{1}{x^3(2y-x)}+x^2+y^2\geq 3\) (đpcm)
Dấu "=" xảy ra khi $x=y=1$
theo đầu bài ta có\(\dfrac{x^2+y^2}{xy}=\dfrac{10}{3}\)=>\(3x^2+3y^2=10xy\)
A=\(\dfrac{x-y}{x+y}\)
=>\(A^2=\left(\dfrac{x-y}{x+y}\right)^2=\dfrac{x^2-2xy+y^2}{x^2+2xy+y^2}=\dfrac{3x^2-6xy+3y^2}{3x^2+6xy+3y^2}=\dfrac{10xy-6xy}{10xy+6xy}=\dfrac{4xy}{16xy}=\dfrac{1}{4}\)
=>A=\(\sqrt{\dfrac{1}{4}}=\dfrac{-1}{2}hoặc\sqrt{\dfrac{1}{4}}=\dfrac{1}{2}\) (cộng trừ căn 1/4 nhé)
vì y>x>0=> A=-1/2
Ta có: \(\left(2x-y\right)^2\ge0\); \(\left(y-2\right)^2\ge0\); \(\sqrt{\left(x+y+z\right)^2}=\left|x+y+z\right|\ge0\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}2x-y=0\\y-2=0\\x+y+z=0\end{matrix}\right.\)\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=?\\y=?\\z=?\end{matrix}\right.\)
Bạn tự giải :D