H
1
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
T
11 tháng 1 2020
1) Không mất tính tổng quát, giả sử \(a\le b\le c\Rightarrow3=a+b+c\le3c\Rightarrow1\le c\le2\Rightarrow\left(c-1\right)\left(c-2\right)\le0\)
\(LHS=a^2+b^2+c^2=\left(a^2+2ab+b^2\right)+c^2-2ab\)
\(\le\left(a+b\right)^2+c^2=\left(3-c\right)^2+c^2\)
\(=2\left(c-1\right)\left(c-2\right)+5\le5\)
Đẳng thức xảy ra khi \(\left(a;b;c\right)=\left(0;1;2\right)\) và các hoán vị.
2) Đề sai chỗ biểu thức M! Sao lại là M = x2 + y2 + x2 (chỗ mình in đậm)
3) Đề cho x, y, z không âm mà sao lại bắt chứng minh với các biến a, b? Sửa đề lại hết đi rồi mình làm nốt!
11 tháng 1 2020
Mình xin lỗi vì viết sai nhé, phải là:
1) Cho 0 ≤ a, b, c ≤ 2 và a + b + c = 3. Chứng minh a2 + b2 + c2 ≤ 5
2) Cho -3 ≤ x, y, z ≤ 1, x + y + z = -1. Tính giá trị nhỏ nhất của M = x2 + y2 +z2
3) Cho các số dương a, b có tổng bằng 1. CMR:
16 tháng 5 2020
Bài 1: diendantoanhoc.net
Đặt \(a=\frac{1}{x};b=\frac{1}{y};c=\frac{1}{z}\) BĐT cần chứng minh trở thành
\(\frac{x}{\sqrt{3zx+2yz}}+\frac{x}{\sqrt{3xy+2xz}}+\frac{x}{\sqrt{3yz+2xy}}\ge\frac{3}{\sqrt{5}}\)
\(\Leftrightarrow\frac{x}{\sqrt{5z}\cdot\sqrt{3x+2y}}+\frac{y}{\sqrt{5x}\cdot\sqrt{3y+2z}}+\frac{z}{\sqrt{5y}\cdot\sqrt{3z+2x}}\ge\frac{3}{5}\)
Theo BĐT AM-GM và Cauchy-Schwarz ta có:
\( {\displaystyle \displaystyle \sum }\)\(_{cyc}\frac{x}{\sqrt{5z}\cdot\sqrt{3x+2y}}\ge2\)\( {\displaystyle \displaystyle \sum }\)\(\frac{x}{3x+2y+5z}\ge\frac{2\left(x+y+z\right)^2}{x\left(3x+2y+5z\right)+y\left(5x+3y+2z\right)+z\left(2x+5y+3z\right)}\)
\(=\frac{2\left(x+y+z\right)^2}{3\left(x^2+y^2+z^2\right)+7\left(xy+yz+zx\right)}\)
\(=\frac{2\left(x+y+z\right)^2}{3\left(x^2+y^2+z^2\right)+\frac{1}{3}\left(xy+yz+zx\right)+\frac{20}{3}\left(xy+yz+zx\right)}\)
\(\ge\frac{2\left(x+y+z\right)^2}{3\left(x^2+y^2+z^2\right)+\frac{1}{3}\left(x^2+y^2+z^2\right)+\frac{20}{3}\left(xy+yz+zx\right)}\)
\(=\frac{2\left(x^2+y^2+z^2\right)}{5\left[x^2+y^2+z^2+2\left(xy+yz+zx\right)\right]}=\frac{3}{5}\)
16 tháng 5 2020
Bổ sung bài 1:
BĐT được chứng minh
Đẳng thức xảy ra <=> a=b=c
4 tháng 1 2016
nhầm làm lại nha ^^
(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2
=>a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ac=a^2+b^2+c^2
=>2(ab+bc+ac)=0
=>ab+bc+ac=0
=>(ab+bc+ac)/abc=0
=>ab/abc+bc/abc+ac/abc=0
=>1/c+1/a+1/b=0
=> 1/a+1/b=-1/c
=> (1/a+1/b)^3=(-1/c)^3
=> 1/a^3+1/b^3+3/ab(1/a+1/b)=-1/c^3
=> 1/a^3+1/b^3+1/c^3+3/ab.(-1/c)=0
=> 1/a^3+1/b^3+1/c^3-3/abc=0
=> 1/a^3+1/b^3+1/c^3=3/abc (đpcm)
4 tháng 1 2016
(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2
a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ac=a^2+b^2+c^2
2(ab+bc+ac)=0
ab+bc+ac=0
(ab+bc+ac)/abc=0
ab/abc+bc/abc+ac/abc=0
1/c+1/a+1/b=0
=> 1/a+1/b=-1/c
=> (1/a+1/b)^3=(-1/c)^3
=> 1/a^3+1/b^3+3.(1/a.)(1/b).(1/a+1/b)=-1/c^3
=> 1/a^3+1/b^3+1/c^3.3ab.(-1/c)=0
=> 1/a^3+1/b^3+1/c^3=3/abc
DL
8 tháng 7 2019
3. Dễ dàng phân tích được hiệu các bình phương 2 số lẻ bất kỳ bằng :
\(\left(2n+3\right)^2-\left(2n+1\right)^2=\left[\left(2n+3\right)-\left(2n+1\right)\right].\left[\left(2n+3\right)+\left(2n+1\right)\right]\)
\(=2.\left(4n+4\right)=8n+8=8\left(n+1\right)⋮8\left(đpcm\right).\)
1 tháng 11 2021
1.a) 2x4-4x3+2x2
=2x2(x2-2x+1)
=2x2(x-1)2
b) 2x2-2xy+5x-5y
=2x(x-y)+5(x-y)
=(2x+5)(x-y)
2.
a) 4x(x-3)-x+3=0
=>4x(x-3)-(x-3)=0
=>(4x-1)(x-3)=0
=> 2 TH:
*4x-1=0 *x-3=0
=>4x=0+1 =>x=0+3
=>4x=1 =>x=3
=>x=1/4
vậy x=1/4 hoặc x=3
b) (2x-3)^2-(x+1)^2=0
=> (2x-3-x-1).(2x-3+x+1)=0
=>(x-4).(3x-2)=0
=> 2 TH
*x-4=0
=> x=0+4
=> x=4
*3x-2=0
=>3x=0-2
=>3x=-2
=>x=-2/3
vậy x=4 hoặc x=-2/3
4 tháng 7 2019
Bài 1)
Ta có : A + B + C + D = 360 độ
=> A + B = 140 độ
Ta có :
A = \(\frac{140+40}{2}\)= 90 độ
=> B = 90 - 40 = 50 độ
4 tháng 7 2019
Bài 1 :
Ta có : \(\widehat{A}+\widehat{B}+\widehat{C}+\widehat{D}=360^o\)
\(\Rightarrow\widehat{A}+\widehat{B}+120^o+100^o=360^o\)
\(\Rightarrow\widehat{A}+\widehat{B}+220^o=360^o\)
\(\Rightarrow\widehat{A}+\widehat{B}=140^o\)
Mà : \(\widehat{A}-\widehat{B}=40^o\)
\(\Rightarrow\widehat{A}+\widehat{A}+\widehat{B}-\widehat{B}=140^o+40^o\)
\(\Rightarrow2\widehat{A}=180^o\Leftrightarrow\widehat{A}=90^o\)
\(\Leftrightarrow\widehat{B}=140^o-\widehat{A}=140^o-90^o=50^o\)
\(KL:\widehat{A}=90^o;\widehat{B}=50^o\)
Trước hết ta chứng minh bài toán phụ sau:
Nếu \(x+y+z=0\) thì \(x^3+y^3+z^3=3xyz\)
Thật vậy \(x+y+z=0\Leftrightarrow z=-x-y\)
Ta có: \(x^3+y^3+z^3=\left(x+y\right)\left(x^2-xy+y^2\right)+\left(-x-y\right)^3\)
\(=\left(x+y\right)\left(x^2-xy+y^2\right)-\left(x+y\right)^3\)
\(=\left(x+y\right)\left(x^2-xy+y^2-x^2-2xy-y^2\right)\)
\(=\left(x+y\right).\left(-xy\right)=\left(-x-y\right).xy\)
Thay \(z=-x-y\) ta được: \(x^3+y^3+z^3=xyz\)
Áp dụng vào bài toán:
Phải chứng minh \(\frac{1}{a^3}+\frac{1}{b^3}+\frac{1}{c^3}=\frac{3}{abc}\)
Vậy nên ta sẽ chứng minh \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=0\)
Ta có: \(\left(a+b+c\right)^2=a^2+b^2+c^2\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca=a^2+b^2+c^2\)
\(\Leftrightarrow ab+bc+ca=0\)
\(\Leftrightarrow\frac{ab}{abc}+\frac{bc}{abc}+\frac{ca}{abc}=0\)(Chia cả 2 vế cho abc) \(\Leftrightarrow\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=0\)
Từ đó ta có điều phải chứng minh.