K
Khách

Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.

7 tháng 3 2020

Đặt 

x=a+b , y=b+c , z=c+a

=> x+y+z=2

Ta cần chứng minh x+z > 4xyz

Ta có 

4(x+z)=(x+y+z)2

(x+z) > 4y.4xz=16xyz

= 4y(x+z)2 > 4y.4xz= 16xyz

=>x+z > 4xyz

Hoàn tất chứng minh . Dấu "=" xảy ra khi x=z=1/2:y=1 thế vào tìm a,b,c.

Chúc bn hok tốt

Câu 1. Chứng minh √7 là số vô tỉ.Câu 2.a) Chứng minh: (ac + bd)2 + (ad – bc)2 = (a2 + b2)(c2 + d2)b) Chứng minh bất dẳng thức Bunhiacôpxki: (ac + bd)2 ≤ (a2 + b2)(c2 + d2)Câu 3. Cho x + y = 2. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: S = x2 + y2.Câu 4.a) Cho a ≥ 0, b ≥ 0. Chứng minh bất đẳng thức Cauchy: b) Cho a, b, c > 0. Chứng minh rằng: c) Cho a, b > 0 và 3a + 5b = 12. Tìm giá trị lớn nhất của tích P = ab.Câu...
Đọc tiếp

Câu 1. Chứng minh √7 là số vô tỉ.

Câu 2.

a) Chứng minh: (ac + bd)2 + (ad – bc)2 = (a2 + b2)(c2 + d2)

b) Chứng minh bất dẳng thức Bunhiacôpxki: (ac + bd)2 ≤ (a2 + b2)(c2 + d2)

Câu 3. Cho x + y = 2. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: S = x2 + y2.

Câu 4.

a) Cho a ≥ 0, b ≥ 0. Chứng minh bất đẳng thức Cauchy: 

b) Cho a, b, c > 0. Chứng minh rằng: 

c) Cho a, b > 0 và 3a + 5b = 12. Tìm giá trị lớn nhất của tích P = ab.

Câu 5. Cho a + b = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: M = a3 + b3.

Câu 6. Cho a3 + b3 = 2. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: N = a + b.

Câu 7. Cho a, b, c là các số dương. Chứng minh: a3 + b3 + abc ≥ ab(a + b + c)

Câu 8. Tìm liên hệ giữa các số a và b biết rằng: |a + b| > |a - b|

Câu 9.

a) Chứng minh bất đẳng thức (a + 1)2 ≥ 4a

b) Cho a, b, c > 0 và abc = 1. Chứng minh: (a + 1)(b + 1)(c + 1) ≥ 8

Câu 10. Chứng minh các bất đẳng thức:

a) (a + b)2 ≤ 2(a2 + b2)

b) (a + b + c)2 ≤ 3(a2 + b2 + c2)

3
22 tháng 10 2019

Câu 9.

a) Ta có: \(\left(a-1\right)^2\ge0\)(điều hiển nhiên)

\(\Leftrightarrow a^2-2a+1\ge0\)

\(\Leftrightarrow a^2+2a+1\ge4a\)

\(\Leftrightarrow\left(a+1\right)^2\ge4a\left(đpcm\right)\)

b) Áp dụng BĐT Cauchy cho 2 số không âm:

\(a+1\ge2\sqrt{a}\)

\(b+1\ge2\sqrt{b}\)

\(c+1\ge2\sqrt{c}\)

\(\left(a+1\right)\left(b+1\right)\left(c+1\right)\ge8\sqrt{abc}=8\)(Vì abc = 1)

22 tháng 10 2019

Câu 10. 

a) Ta có: \(-\left(a-b\right)^2\le0\)(điều hiển nhiên)

\(\Leftrightarrow-a^2+2ab-b^2\le0\)

\(\Leftrightarrow a^2+2ab+b^2\le2a^2+2b^2\)

\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)^2\le2\left(a^2+b^2\right)\)

b) \(\left(a+b+c\right)^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ac\)

Có: \(2ab\le a^2+b^2;2bc\le b^2+c^2;2ac\le a^2+c^2\)(BĐT Cauchy)

\(\Rightarrow a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ac\le3\left(a^2+b^2+c^2\right)\)

Vậy ​\(\left(a+b+c\right)^2\le3\left(a^2+b^2+c^2\right)\)

 
18 tháng 2 2020

Mình giúp bạn nha :33

Áp dụng BĐT Cô - si  cho 2 số dương ta được :

\(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\ge2\sqrt{\frac{a}{b}\cdot\frac{b}{a}}=2\) (1)

\(\frac{a}{b^2}+\frac{b}{a^2}\ge2\sqrt{\frac{a}{b^2}\cdot\frac{b}{a^2}}=2\sqrt{\frac{1}{ab}}\ge2\sqrt{\frac{1}{\frac{a^2+b^2}{2}}}=2.1=2\) (2)

( Do BĐT \(a^2+b^2\ge2ab\) \(\Rightarrow\frac{1}{ab}\ge\frac{1}{\frac{a^2+b^2}{2}}=1\) )

Nhân hai vế của BĐT (1) và (2) ta được BĐT cần chứng minh.

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=1\)

18 tháng 2 2020

Ta có a^2 +b^2=2

Áp dụng BĐT Cosi

\(ab\le\frac{a^2+b^2}{2}=1\)

\(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\ge2\left(1\right)\)

\(\frac{a}{b^2}+\frac{b}{a^2}\ge2\sqrt{\frac{a}{b^2}\cdot\frac{b}{a^2}}=2\sqrt{\frac{1}{ab}}\ge2\left(2\right)\)

từ (1),(2) ta có ĐPCM