Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
\(A=\frac{x}{x+1}+\frac{y}{y+1}+\frac{z}{z+1}\).Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz,ta có:
\(=\left(1-\frac{1}{x+1}\right)+\left(1-\frac{1}{y+1}\right)+\left(1-\frac{1}{z+1}\right)\)
\(=\left(1+1+1\right)-\left(\frac{1}{x+1}+\frac{1}{y+1}+\frac{1}{z+1}\right)\)
\(\ge3-\frac{9}{\left(x+y+z\right)+\left(1+1+1\right)}=\frac{3}{4}\)
Dấu "=" xảy ra khi x = y = z = 1/3
Vậy A min = 3/4 khi x=y=z=1/3
\(P=\frac{x}{x+1}+\frac{y}{y+1}+\frac{z}{z+1}\)
\(=3-\left(\frac{1}{x+1}+\frac{1}{y+1}+\frac{1}{z+1}\right)\)
Áp dụng bddt Bunhiacopski dạng phân thức:
\(\frac{1}{x+1}+\frac{1}{y+1}+\frac{1}{z+1}\ge\frac{\left(1+1+1\right)^2}{\left(x+y+z\right)+3}=\frac{9}{4}\)
\(\Rightarrow-\left(\frac{1}{x+1}+\frac{1}{y+1}+\frac{1}{z+1}\right)\le\frac{-9}{4}\)
\(\Rightarrow3-\left(\frac{1}{x+1}+\frac{1}{y+1}+\frac{1}{z+1}\right)\le\frac{3}{4}\)
Dấu "=" khi x = y = z = \(\frac{1}{3}\)
\(\frac{16}{2x+y+z}=\frac{16}{x+x+y+z}\le\frac{1}{x}+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=\frac{2}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\)
Tương tự:
\(\frac{16}{x+2y+z}\le\frac{1}{x}+\frac{2}{y}+\frac{1}{z};\frac{16}{x+y+2z}\le\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{2}{z}\)
Cộng lại:
\(16P\le4\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)=16\Rightarrow P\le1\)
dấu "=" xảy ra tại \(x=y=z=\frac{3}{4}\)
\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=\frac{1^2}{x}+\frac{1^2}{y}+\frac{1^2}{z}\ge\frac{\left(1+1+1\right)^2}{x+y+z}=\frac{9}{x+y+z}\)( Bất đẳng thức Svac-xơ )
Dấu = xảy ra khi \(\frac{1}{x}=\frac{1}{y}=\frac{1}{z}\)
BĐT trên
\(< =>\frac{xy+yz+xz}{xyz}\ge\frac{9}{x+y+z}\)
\(< =>\left(x+y+z\right)\left(xy+yz+xz\right)\ge9xyz\)
Áp dụng BĐT cô si cho 3 số :
\(x+y+z\ge3\sqrt[3]{xyz}\)
\(xy+yz+xz\ge3\sqrt[3]{x^2y^2z^2}\)
Nhân vế với vế : \(\left(x+y+z\right)\left(xy+yz+xz\right)\ge3\sqrt[3]{xyz}.3\sqrt[3]{x^2y^2z^2}=9xyz\)
Nên ta có đpcm
\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\ge\frac{4}{x+y}\Rightarrow2\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)\ge4\left(\frac{1}{x+y}+\frac{1}{y+z}+\frac{1}{z+x}\right)\)
\(\Leftrightarrow2\left(\frac{1}{x+y}+\frac{1}{y+z}+\frac{1}{z+x}\right)\le1\)
\(\frac{1}{x+y}+\frac{1}{y+z}\ge\frac{4}{2x+y+z}\Rightarrow2\left(\frac{1}{x+y}+\frac{1}{y+z}+\frac{1}{z+x}\right)\ge4\left(\frac{1}{2x+y+z}+\frac{1}{2y+z+x}+\frac{1}{2z+x+y}\right)\)
\(4M\le1\Leftrightarrow M\le\frac{1}{4}\) \(M=\frac{1}{4}\Leftrightarrow x=y=z=3\)
\(A\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{3}+\frac{9}{x+y+z}=\frac{\left(x+y+z\right)^2}{3}+\frac{9}{8\left(x+y+z\right)}+\frac{9}{8\left(x+y+z\right)}+\frac{27}{4\left(x+y+z\right)}\)
\(A\ge3\sqrt[3]{\frac{81\left(x+y+z\right)^2}{3.64\left(x+y+z\right)\left(x+y+z\right)}}+\frac{27}{4.\frac{3}{2}}=\frac{27}{4}\)
\(A_{min}=\frac{27}{4}\) khi \(x=y=z=\frac{1}{2}\)
b2 \(\sqrt{x-1}+\sqrt{y-1}+\sqrt{z-1}=\sqrt{x}.\sqrt{1-\frac{1}{x}}+\sqrt{y}.\)\(\sqrt{y}.\sqrt{1-\frac{1}{y}}+\sqrt{z}.\sqrt{1-\frac{1}{z}}\)rồi dung bunhia là xong
A= \(\frac{1}{a^3}\)+ \(\frac{1}{b^3}\)+ \(\frac{1}{c^3}\)+ \(\frac{ab^2}{c^3}\)+ \(\frac{bc^2}{a^3}\)+ \(\frac{ca^2}{b^3}\)
Svacxo:
3 cái đầu >= \(\frac{9}{a^3+b^3+c^3}\)
3 cái sau >= \(\frac{\left(\sqrt{a}b+\sqrt{c}b+\sqrt{a}c\right)^2}{a^3+b^3+c^3}\)
Cô-si: cái tử bỏ bình phương >= 3\(\sqrt{abc}\)
=> cái tử >= 9abc= 9 vì abc=1
Còn lại tự làm
Xét bất đẳng thức phụ: \(\frac{x}{x+1}\le\frac{9}{16}x+\frac{1}{16}\)(*)
(*)\(\Leftrightarrow\frac{-\left(3x-1\right)^2}{16\left(x+1\right)}\le0\)*đúng với mọi x > 0*
Áp dụng tương tự rồi cộng vế theo vế, ta được: \(A\le\frac{9}{16}\left(x+y+z\right)+\frac{3}{16}=\frac{3}{4}\)
Đẳng thức xảy ra khi \(x=y=z=\frac{1}{3}\)