Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Đáp số : \(m=-\frac{1}{\sqrt[3]{3}};m=-\sqrt[3]{\left(2+\sqrt{3}\right)^2}\)
Bài 1: Ta có
\(y'=0\Leftrightarrow x[2mx^2-(m+1)]=0\)
\(\Leftrightarrow \left[\begin{matrix} x=0\\ 2mx^2-(m+1)=0(1)\end{matrix}\right.\)
Một điểm nằm trên trục tọa độ thì tung độ hoặc hoành độ phải bằng $0$. Do đó yêu cầu đề bài được đáp ứng khi $y'=0$ có nghiệm $x=0$ hoặc nếu $x$ khác $0$ thì tung độ tương ứng phải bằng $0$
+) Nếu \(m=0\) : $(1)$ vô nghiệm . $y'=0$ có nghiệm duy nhất $x=0$ (thỏa mãn)
+) Nếu $m=-1$ : $(1)$ có nghiệm $x=0$ (thỏa mãn)
+) Nếu $-1< m< 0$. Từ \((1)\Rightarrow x^2=\frac{m+1}{2m}< 0\) (vô lý) nên $(1)$ vô nghiệm. $y'=0$ có nghiệm duy nhất $x=0$ (thỏa mãn)
+) Nếu \(m>0\) hoặc \(m< -1\)
$(1)$ có 2 nghiệm \(x=\pm \sqrt{\frac{m+1}{2m}}\neq 0\)
\(\Rightarrow y=m(\pm \sqrt{\frac{m+1}{2m}})^4-(m+1)(\pm \sqrt{\frac{m+1}{2m}})^2+(m+1)\)
\(=\frac{(m+1)^2}{4m}-\frac{(m+1)^2}{2m}+(m+1)\)
\(=(m+1)-\frac{(m+1)^2}{4m}=0\)
\(\Leftrightarrow \left[\begin{matrix} m=-1\\ m=\frac{1}{3}\end{matrix}\right.\) . Vì \(\Rightarrow m=\frac{1}{3}\)
Vậy \(-1\leq m\leq 1 \text{or m}=\frac{1}{3}\)
Bài 2:
Ta có: \(y'=4x^3+4mx=0\Leftrightarrow x(x^2+m)=0\)
Nếu $m\geq 0$. PT $y'=0$ có duy nhất nghiệm $x=0$. Ta chỉ thu được 1 điểm cực trị (loại)
Nếu $m<0$. Ngoài $x=0$ pt $y'=0$ còn có 2 nghiệm \(x=\pm \sqrt{-m}\neq 0\)
(thu được 3 cực trị)
Khi đó:
\(y=(\pm \sqrt{-m})^4+2m(\pm \sqrt{-m})^2+4=m^2-2m^2+4=4-m^2\)
Để điểm cực trị nằm trên trục tọa độ thì \(y=0\Leftrightarrow 4-m^2=0\Leftrightarrow m=-2\) (do $m< 0$)
Vậy \(m=-2\)
Phương trình có hoành độ giao điểm \(\frac{-x+m}{x+2}=-x+\frac{1}{2}\Leftrightarrow\begin{cases}x\ne-2\\2x^2+x+2m-2=0\left(1\right)\end{cases}\)
Đường thẳng (d) cắt \(\left(C_m\right)\) tại 2 điểm A, B <=> (1) có 2 nghiệm phân biệt \(x\ne-2\)
\(\Leftrightarrow\begin{cases}\Delta=1-8\left(2m-2\right)>0\\2\left(-2\right)^2+\left(-2\right)+2m-2\ne0\end{cases}\)\(\Leftrightarrow\begin{cases}17-16m>0\\m\ne-2\end{cases}\)\(\Leftrightarrow\begin{cases}m<\frac{17}{16}\\m\ne-2\end{cases}\)
\(A\left(x_1;-x_1+\frac{1}{2}\right);B\left(x_2;-x_2+\frac{1}{2}\right);\) trong đó x1, x2 là 2 nghiệm phân biệt của phương trình (1)
Theo Viet ta có \(\begin{cases}x_1+x_2=-\frac{1}{2}\\x_1x_2=m-1\end{cases}\)
\(AB=\sqrt{\left(x_2-x_1\right)^2+\left(x_1-x_2\right)^2}=\sqrt{2\left[\left(x_1+x_2\right)^2-4x_1x_2\right]}=\frac{\sqrt{2\left(17-16m\right)}}{2}\)
\(d\left(O,d\right)=\frac{1}{2\sqrt{2}};S_{\Delta OAB}=\frac{1}{2}AB.d\left(O,d\right)=\frac{1}{2}.\frac{1}{2\sqrt{2}}.\frac{\sqrt{2\left(17-16m\right)}}{2}=1\)
\(\Leftrightarrow m=\frac{-47}{16}\)
Vậy \(m=\frac{-47}{16}\)
Ta có \(y=4x^3-4mx=4x\left(x^2-m\right)=0\Leftrightarrow x=0\) hoặc \(x^2=m\)
Hàm số đã cho có 3 điểm cực trị \(\Leftrightarrow\) phương trình y' = 0 có 3 nghiệm phân biệt và y' đổi dấu khi x đi qua các nghiệm đó <=> m > 0. Khi đó 3 điểm cực trị của đồ thị hàm số là :
\(A\left(0;m-1\right);B\left(-\sqrt{m};m^2+m-1\right);C\left(\sqrt{m};-m^2+m-1\right)\)
a) Ta có \(S_{\Delta ABC}=\frac{1}{2}\left|y_B-y_A\right|.\left|y_C-y_B\right|=m^2\sqrt{m}\)
\(AB=AC=\sqrt{m^4+m};BC=2\sqrt{m}\)
\(R=\frac{AB.AC.BC}{4S_{\Delta ABC}}=1\Leftrightarrow\frac{\left(m^4+m\right)2\sqrt{m}}{4m^2\sqrt{m}}=1\)
\(\Leftrightarrow m^3-2m+1=0\Leftrightarrow m=1\) hoặc \(m=\frac{\sqrt{5}-1}{2}\)
Vậy \(m=1;m=\frac{\sqrt{5}-1}{2}\) là giá trị cần tìm
b) Vì B, C đối xứng nhau qua trục tung nên BC luôn vuông góc OA
Do đó O là trực tâm tam giác ABC khi và chỉ khi \(\overrightarrow{OB}.\overrightarrow{AC}=0\)
\(\overrightarrow{OB}\left(-\sqrt{m};-m^2+m-1\right);\overrightarrow{AC}\left(\sqrt{m};-m^2\right)\)
Suy ra \(-m-m^2\left(-m^2+m-1\right)=0\Leftrightarrow m\left(-m^3+m^2-m+1\right)=0\)
\(\Leftrightarrow m\left(m-1\right)\left(m^2+1\right)=0\Leftrightarrow m=0\) hoặc m = 1
Vậy m = 0 hoặc m = 1 là giá trị cần tìm
c) Rõ ràng tam giác ABC cân tại A và truyên tuyến kẻ từ A thuộc Oy. Do đó O là trọng tâm của tam giác ABC
<=> \(y_A+2y_B=0\)
\(\Leftrightarrow m-1+2\left(-m^2+m-1\right)=0\)
\(\Leftrightarrow2m^2-3m+3=0\) vô nghiệm
Vậy không tồn tai giá trị m thỏa mãn yêu cầu bài toán
bn ơi cho mk hỏi cái công thức tính S tam giác ABC=1/2|yB-yA|.|yC-yB| ở đâu vậy ạ
Ta có \(y'=4x^3-4mx=4x\left(x^2-m\right);y'=0\Leftrightarrow x=0\) hoặc \(x^2=m\)
Hàm số có 3 điểm cực trị \(\Leftrightarrow\) phương trình \(y'=0\) có 3 nghiệm phân biệt là \(x=0;x=\pm\sqrt{m}\) suy ra đồ thị của hàm số có 3 điểm cực trị là \(A\left(0;m^2-m\right);B\left(-\sqrt{m};-m\right);\overrightarrow{AB}=\left(-\sqrt{m};-m^2\right);\overrightarrow{AC}=\left(\sqrt{m;}-m^2\right)\)
Do đó \(AB=AC=\sqrt{m^4+m}\) nên yêu cầu bài toán được thỏa mãn
\(\Leftrightarrow\widehat{BAC}=120^0\Leftrightarrow\left(\overrightarrow{AB};\overrightarrow{AC}\right)=120^0\)\(\Leftrightarrow\frac{\overrightarrow{AB}\overrightarrow{AC}}{\left|\overrightarrow{AB}\right|\left|\overrightarrow{AC}\right|}=\frac{1}{2}\)
\(\Leftrightarrow\frac{-\left(m\right)+m^4}{m+m^4}=-\frac{1}{2}\Leftrightarrow2m^4-2m=-m-m^4\)
\(\Leftrightarrow3m^4-m=0\Leftrightarrow m\left(3m^3-1\right)=0\Leftrightarrow m=0\) hoặc \(m=\frac{1}{\sqrt[3]{3}}\)
Kết hợp với điều kiện (*) ta có giá trị cần tìm là \(m=\frac{1}{\sqrt[3]{3}}\)
Tìm m để hàm số
\(y=x^4-2mx^2+2\)
Có 3 điểm cực trị tạo thành 1 tam giác nhận gốc tọa độ làm trực tâm
Ta có \(y'=4x^3-4mx=4x\left(x^2-m\right)=0\Rightarrow x=0\) hoặc \(x^2=m\)
Hàm số đã cho có 3 điểm cực trị <=> phương trình y' = 0 có 3 nghiệm phân biệt và đổi dấu khi x đi qua các nghiệm đó <=> m > ).
Khi đó 3 điểm cực trị của đồ thị hàm số là :
\(A\left(0;2\right);B\left(\sqrt{m};2-m^2\right);C\left(-\sqrt{m};2-m^2\right)\)
Vì B, C đối xứng nhau qua trục tung nên BC luôn vuông góc OA
Do đó O là trực tâm tam giác ABC khi và chỉ khi \(\overrightarrow{OB}.\overrightarrow{AC}=0\)
\(\Leftrightarrow m^4-2m^2-m=0\Leftrightarrow m=0\) hoặc \(m=-1\) hoặc \(m=\frac{1\pm\sqrt{5}}{2}\)
Kết hợp với điều kiện suy ra \(m=\frac{1\pm\sqrt{5}}{2}\)
Với mọi \(x\in R,y'=3x^2+6mx\Rightarrow y'=0\Leftrightarrow x=0\) hoặc \(x=-2m\)
Để hàm số có cực đại, cực tiểu thì phương trình \(y'=0\) có 2 nghiệm phân biệt \(\Leftrightarrow m\ne0\). Khi đó, tọa độ các điểm cực trị là \(A\left(0;2\right),B\left(-2m;4m^3+2\right)\)
\(S_{OAB}=1\Leftrightarrow OA.d\left(B;OA\right)=4\Leftrightarrow\left|2\right|=2\Leftrightarrow\begin{cases}m=1\\m=-1\end{cases}\) (thỏa mãn)
Vậy với \(m=\pm1\) thì hàm số có 2 cực trị thỏa mãn bài
a) Ta có : \(y'=3x^2+2\left(m-1\right)x+m\left(m-3\right)\)
Hàm số (1) có cực đại và cực tiểu nằm 2 phía đối với trục tung <=> phương trình : \(3x^2+2\left(m-1\right)x+m\left(m-3\right)=0\) có 2 nghiệm phân biệt trái dấu
\(\Leftrightarrow P< 0\Leftrightarrow m\left(m-3\right)< 0\Leftrightarrow0< m< 3\)
Vậy \(0< m< 3\) là giá trị cần tìm
b) Khi m = 1 ta có : \(y=x^3-2x\).
Gọi \(M\left(a;a^3-2a\right)\in\left(C\right),a\ne0\)
Ta có \(y'=3x^2-2\) nên hệ số góc của \(\Delta\) là \(y'\left(a\right)=3a^2-2\)
Ta có \(\overrightarrow{OM}\left(a;a^3-2a\right)\) nên hệ số góc đường thẳng OM là \(k=a^2-2\)
Do đó : \(\Delta\perp OM\Leftrightarrow y'_a.k=-1\)
\(\Leftrightarrow\left(3a^2-2\right)\left(a^2-2\right)=-1\Leftrightarrow3a^4-8a^2+5=0\)
\(M_1\left(1;-1\right);M_1\left(-1;1\right);M_3\left(-\frac{\sqrt{15}}{3};\frac{\sqrt{15}}{9}\right);M_4\left(\frac{\sqrt{15}}{3};-\frac{\sqrt{15}}{9}\right)\) \(\Leftrightarrow\left[\begin{array}{nghiempt}a^2=1\\a^2=\frac{5}{3}\end{array}\right.\) \(\Leftrightarrow\left[\begin{array}{nghiempt}a=\pm1\\a=\pm\frac{\sqrt{5}}{3}\end{array}\right.\)(Thỏa mãn)
Suy ra có 4 điểm thỏa mãn đề bài :\(M_1\left(1;-1\right);M_2\left(-1;1\right);M_3\left(-\frac{\sqrt{15}}{3};\frac{\sqrt{15}}{9}\right);M_4\left(\frac{\sqrt{15}}{3};-\frac{\sqrt{15}}{9}\right)\)
+ Đạo hàm y’ = 4x3- 4mx
Hàm số có 3 điểm cực trị khi và chỉ khi m≠0.
+ Khi đó đồ thị hàm số có 3 điểm cực trị là:
+ Vì B,C đối xứng nhau qua trục tung nên BC và OA vuông góc với nhau.
Do đó O là trực tâm tam giác ABC khi và chỉ khi OB vuông góc AC hay
Với
Kết hợp với điều kiện m ≠ 0 thì m = 1 là giá trị cần tìm.
Chọn B.