Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Do SA ⊥ (ABCD) ⇒ \(\left\{{}\begin{matrix}SA\perp AB\\SA\perp AC\\SA\perp BC\end{matrix}\right.\)
Mà BC ⊥ AC ⇒ BC ⊥ (SAC) ⇒ BC ⊥ SC và BC ⊥ AH
Do BC ⊥ AH và AH ⊥ SC ⇒ AH ⊥ (SBC) ⇒ AH ⊥ KH ⇒ \(\widehat{AHK}=90^0\)
ΔSAB và ΔSAC vuông tại A
Mà AH và AK lần lượt là đường cao của ΔSAB và ΔSAC
⇒ \(\left\{{}\begin{matrix}SA^2=SK.SB\\SA^2=SH.SC\end{matrix}\right.\)
⇒ SK . SB = SH . SC
⇒ \(\dfrac{SK}{SH}=\dfrac{SC}{SB}\) ⇒ ΔSKH \(\sim\) ΔSCB ⇒ \(\widehat{SKH}=\widehat{SCB}=90^0\)
⇒ HK ⊥ SB
Mà AK⊥ SB
⇒ ((SAB),(SCB)) = (AK,AH) = \(\widehat{KAH}\) = 450 (đây là góc nhọn, vì \(\widehat{AHK}=90^0\))
⇒ ΔHAK vuông cân tại H ⇒ AK = \(\sqrt{2}AH\)
Ta có : \(\dfrac{S_{SAC}}{S_{SAB}}=\dfrac{\dfrac{1}{2}.AH.SC}{\dfrac{1}{2}AK.SB}=\dfrac{\dfrac{1}{2}.SA.AC}{\dfrac{1}{2}.SA.AB}\)
⇒ \(\dfrac{AH.SC}{AK.SB}=\dfrac{SA.AC}{SA.AB}\)
⇒ \(\dfrac{1}{\sqrt{2}}\) . \(\dfrac{SC}{SB}\) = \(\dfrac{AC}{AB}\). Mà AC = a và AB = 2a
⇒ \(\dfrac{1}{\sqrt{2}}\)\(\dfrac{SC}{SB}\) = \(\dfrac{1}{2}\) ⇒ \(\dfrac{SC^2}{SB^2}\) = \(\dfrac{1}{2}\) . Mà SB2 - SC2 = BC2 = 3a2
⇒ \(\left\{{}\begin{matrix}SC^2=3a^2\\SB^2=6a^2\end{matrix}\right.\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}SB=a\sqrt{6}\\SC=a\sqrt{3}\end{matrix}\right.\) ⇒ SA = a\(\sqrt{2}\)
Từ đó ta tính được SH = \(\dfrac{2a\sqrt{3}}{3}\) và SK = \(\dfrac{a\sqrt{6}}{3}\)
Gọi M là trung điểm của SB thì ta có CM // HK (cùng vuông góc với SB)
Khoảng cách từ HK đến AC bằng khoảng cách từ HK đến (AMC)
Gọi D là hình chiếu vuông góc của S lên (ABC)
\(SD\perp\left(ABC\right)\Rightarrow SD\perp AB\) , mà \(AB\perp SA\left(gt\right)\Rightarrow AB\perp\left(SAD\right)\Rightarrow AB\perp AD\)
\(\Rightarrow AD||BC\)
Tương tự ta có: \(BC\perp\left(SCD\right)\Rightarrow BC\perp CD\Rightarrow CD||AB\)
\(\Rightarrow\) Tứ giác ABCD là hình vuông
\(\Rightarrow BD=a\sqrt{2}\)
\(SD=\sqrt{SB^2-BD^2}=a\sqrt{2}\)
Gọi P là trung điểm AD \(\Rightarrow MP\) là đường trung bình tam giác SAD
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}MP=\dfrac{1}{2}SD=\dfrac{a\sqrt{2}}{2}\\MP||SD\Rightarrow MP\perp\left(ABC\right)\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\alpha=\widehat{MNP}\)
\(cos\alpha=\dfrac{NP}{MN}=\dfrac{NP}{\sqrt{NP^2+MP^2}}=\dfrac{a}{\sqrt{a^2+\dfrac{a^2}{2}}}=\dfrac{\sqrt{6}}{3}\)
Kẻ AE vuông góc SC (E thuộc SC)
\(\left\{{}\begin{matrix}SA\perp\left(ABCD\right)\Rightarrow SA\perp BC\\AB\perp BC\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow BC\perp\left(SAB\right)\Rightarrow BC\perp AM\)
\(\Rightarrow AM\perp\left(SBC\right)\Rightarrow AM\perp SC\)
Hoàn toàn tương tự ta có \(AN\perp SC\Rightarrow SC\perp\left(AMN\right)\)
Mà \(AE\perp SC\Rightarrow E\in\left(AMN\right)\)
\(\Rightarrow AE\) là hình chiếu vuông góc của SA lên (AMN)
\(\Rightarrow\widehat{SAE}\) là góc giữa SA và (AMN)
\(AC=a\sqrt{2}\Rightarrow SC=\sqrt{SA^2+AC^2}=2a\)
\(\Delta SAC\) vuông cân tại A \(\Rightarrow AE=SE=\dfrac{1}{2}SC=a\)
\(\Rightarrow\Delta SAE\) vuông cân tại E \(\Rightarrow\widehat{SAE}=45^0\)
1.
\(cos\left(\widehat{\overrightarrow{u};\overrightarrow{v}}\right)=\dfrac{\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}}{\left|\overrightarrow{u}\right|.\left|\overrightarrow{v}\right|}=\dfrac{10}{10.\sqrt{2}}=\dfrac{1}{\sqrt{2}}\)
\(\Rightarrow\left(\widehat{\overrightarrow{u};\overrightarrow{v}}\right)=45^0\)
2.
a.
\(\left\{{}\begin{matrix}SA\perp\left(ABC\right)\Rightarrow SA\perp BC\\AB\perp BC\left(gt\right)\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow BC\perp\left(SAB\right)\) (1)
Mà \(BC=\left(SBC\right)\cap\left(ABC\right)\Rightarrow\widehat{SBA}\) là góc giữa (SBC) và (ABC)
\(tan\widehat{SBA}=\dfrac{SA}{AB}=1\Rightarrow\widehat{SBA}=45^0\)
b.
Từ (1) \(\Rightarrow BC\perp AM\)
Mà \(AM\perp SB\left(gt\right)\) \(\Rightarrow AM\perp\left(SBC\right)\) (2)
\(\Rightarrow AM\perp MN\Rightarrow\Delta AMN\) vuông tại M
Từ (2) \(\Rightarrow AM\perp SC\), mà \(SC\perp AN\left(gt\right)\)
\(\Rightarrow SC\perp\left(AMN\right)\) (3)
Lại có \(SA\perp\left(ABC\right)\) theo giả thiết
\(\Rightarrow\) Góc giữa (AMN) và (ABC) bằng góc giữa SA và SC hay là góc \(\widehat{ASC}\)
\(AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=a\sqrt{2}\)
\(\Rightarrow tan\widehat{ASC}=\dfrac{AC}{SA}=\sqrt{2}\Rightarrow\widehat{ASC}\approx54^044'\)
Từ (3) \(\Rightarrow AN\) là hình chiếu vuông góc của AC lên (AMN)
\(\Rightarrow\widehat{CAN}\) là góc giữa AC và (AMN)
Mà \(\widehat{CAN}=\widehat{ASC}\) (cùng phụ \(\widehat{ACS}\)) \(\Rightarrow\widehat{CAN}=...\)
c.
\(\left\{{}\begin{matrix}IC=\dfrac{1}{2}AC\left(gt\right)\\AI\cap\left(SBC\right)=C\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow d\left(I;\left(SBC\right)\right)=\dfrac{1}{2}d\left(A;\left(SBC\right)\right)\)
Mà từ (2) ta có \(AM\perp\left(SBC\right)\Rightarrow AM=d\left(A;\left(SBC\right)\right)\)
\(SA=AB\left(gt\right)\Rightarrow\Delta SAB\) vuông cân tại A
\(\Rightarrow AM=\dfrac{1}{2}SB=\dfrac{a\sqrt{2}}{2}\Rightarrow d\left(I;\left(SBC\right)\right)=\dfrac{1}{2}AM=\dfrac{a\sqrt{2}}{4}\)
Hình vẽ bài 2: