Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Giải:
Chia phương trình cho \(x^2\) ta có:
\(x^2+\frac{1}{x^2}+ax+\frac{b}{x}+2=0\left(1\right)\)
\(\left(1\right)-\left(ax+\frac{b}{x}\right)=x^2+\frac{1}{x^2}+2\Leftrightarrow\left(ax+\frac{b}{x}\right)^2=\left(x^2+\frac{1}{x^2}+2\right)^2\)
Áp dụng BĐT Bunhiacopski ta có:
\(\left(ax+by\right)^2\le\left(a^2+b^2\right)\left(x^2+y^2\right)\)
Dấu "=" xảy ra khi \(\frac{a}{x}=\frac{b}{y}\)
Vậy \(\left(ax+\frac{b}{x}\right)^2\le\left(x^2+\frac{1}{x^2}\right)\left(a^2+b^2\right)\) nên \(\left(x^2+\frac{1}{x^2}\right)\left(a^2+b^2\right)\ge\left(x^2+\frac{1}{x^2}+2\right)^2\)
Đặt \(x^2+\frac{1}{x^2}=t\left(t\ge2\right)\) nên \(a^2+b^2\ge\frac{\left(t+2\right)^2}{t}=t+\frac{4}{t}+4\ge2\sqrt{t.\frac{4}{t}}+4=8\)
Dấu "=" xảy ra khi \(x^2+\frac{1}{x^2}=2\Leftrightarrow x=1\) và \(a=b\) sẽ tìm ra a
Chia cho X2 vì X=9 không là nghiệm của PT
Đặt t=X+\(\frac{1}{x}\)
=> t2+at+b-2=0
=>(t2-2)2=(at+b)2nhỏ hơn hoặc bằng (a2+b2)(1+t2)
=>a2+b2 lớn hơn hoặc bằng \(\frac{\left(t^2-2\right)^2}{t^2+1}\)lớn hơn hoặc bằng 0,8 dấu bằng khi..............
nhận thấy x=0 không là nghiệm của phương trình ,chia cả 2 vế của phương trình cho x2 ta được:
\(x^2+ax+b+\frac{a}{x}+\frac{1}{x^2}=0\Leftrightarrow\left(x^2+\frac{1}{x^2}\right)+a\left(x+\frac{1}{x}\right)+b=0\)
đặt \(m=x+\frac{1}{x}\),phương trình trở thành \(m^2-2+am+b=0\Leftrightarrow m^2-2=-am-b\Leftrightarrow\left(m^2-2\right)^2=\left(am+b\right)^2\)
Áp dụng bất đẳng thức bunyakovsky :\(\left(m^2-2\right)^2=\left(am+b\right)^2\le\left(m^2+1\right)\left(a^2+b^2\right)\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2\ge\frac{\left(m^2-2\right)^2}{m^2+1}=\frac{m^4-4m^2+4}{m^2+1}=m^2-5+\frac{9}{m^2+1}\)
\(=m^2+1+\frac{25}{m^2+1}-\frac{16}{m^2+1}-6\)
Áp dụng bất đẳng thức AM-GM: \(m^2+1+\frac{25}{m^2+1}\ge10\)
\(a^2+b^2\ge4-\frac{16}{m^2+1}\)
lại có \(m^2=\left(x+\frac{1}{x}\right)^2\ge4\)(AM-GM)
nên \(a^2+b^2\ge4-\frac{16}{5}=\frac{4}{5}\)
đẳng thức xảy ra khi \(\hept{\begin{cases}a=-\frac{4}{5}\\b=-\frac{2}{5}\end{cases}}\)
Gọi m là nghiệm chung của 2 phương trình thì ta có:
\(\hept{\begin{cases}m^2+am+6=0\\m^2+bm+12=0\end{cases}}\)
\(\Rightarrow2m^2+\left(a+b\right)m+18=0\)
Để phương trình có nghiệm thì
\(\Delta=\left(a+b\right)^2-144\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left|a+b\right|\ge12\)
Ta lại có:
\(\left|a\right|+\left|b\right|\ge\left|a+b\right|\ge12\)
Tới đây thì đơn giản rồi nên b tự làm nhé.
Nếu \(x_o\)là nghiệm của phương trình đã cho thì \(x_o\ne0\)và
\(x_o^4+ax_o^3+bx_o^2+ax_o+1=0\)
Chia 2 vế cho \(x_o^2\), ta được :
\(\left(x_o^2+\frac{1}{x_o^2}\right)+a\left(x_o+\frac{1}{x_o}\right)+b=0\)(I)
Đặt \(t=x_o+\frac{1}{x_o}\); \(\left|t\right|=\left|x_o+\frac{1}{x_o}\right|=\left|x_o\right|+\left|\frac{1}{x_o}\right|\ge2\)
Từ (I) , => \(t^2+at+b-2=0\Rightarrow t^2=-at-b+2\)
Áp dụng BĐT B.C.S ta được :
\(t^4=\left[at+\left(b-2\right)\right]^2\le\left[a^2+\left(b-2\right)^2\right]\left(t^2+1\right)\)
\(\Rightarrow a^2+\left(b-2\right)^2\ge\frac{t^4}{t^2+1}\)
Mà \(\frac{t^4}{t^2+1}\ge\frac{t^4}{t^2+\frac{t^2}{4}}=\frac{4t^4}{5t^2}=\frac{4}{5}t^2\ge\frac{16}{5}\left(\text{vì}:t^2\ge4\right)\)
Vậy ......
cậu vào đây xem trang 19 người ta giải săn cho rồi đấy
http://sangkienkinhnghiem.org/sang-kien-kinh-nghiem-ap-dung-giai-bat-dang-thuc-trong-dai-so-thcs-1729/