Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
\(xy\le\frac{\left(x+y\right)^2}{4}\)( bđt cauchy )
\(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\ge2\sqrt{\frac{x}{y}.\frac{y}{x}}=2\)( bđt cauchy )
\(\Rightarrow\frac{x}{y}+\frac{y}{x}+\frac{xy}{\left(x+y\right)^2}\ge2+\frac{\frac{\left(x+y\right)^2}{4}}{\left(x+y\right)^2}=2+\frac{1}{4}=\frac{9}{4}\)
\(bđt< =>\frac{a+b}{ab}\ge\frac{4}{a+b}\)
\(< =>a^2+2ab+b^2\ge4ab\)
\(< =>a^2+b^2\ge2ab\)
\(< =>\left(a-b\right)^2\ge0\)*đúng*
Vậy ta có điều phải chứng minh
\(\frac{a^2}{x}+\frac{b^2}{y}\ge\frac{\left(a+b\right)^2}{x+y}\Leftrightarrow\frac{a^2y+b^2x}{xy}\ge\frac{\left(a+b\right)^2}{x+y}\Leftrightarrow\left(a^2y+b^2x\right)\left(x+y\right)\ge xy\left(a+b\right)^2\Leftrightarrow a^2xy+b^2x^2+a^2y^2+b^2xy\ge a^2xy+b^2xy+2abxy\Leftrightarrow a^2y^2-2abxy+b^2x^2\ge0\Leftrightarrow\left(ay-bx\right)^2\ge0\)*đúng*
Đẳng thức xảy ra khi a/b = x/y
nhầm sorry bạn
b, (m+4)2>= 16m
(=) m2+8m +16 -16m >= 0
(=)m2 -8m +16 >= 0
(=) (m+4)2>= 0
Ta có (m+4)2>= 0 với mọi m
Dấu "=" xảy ra (=) (m+4)2=0
(=) m +4 = 0
(=) m= -4
Vậy (m+4)2>= 16m dấu bằng xảy ra (=) m = -4
a, Ta có:
x2+y2/16 >= 1/2 xy
(=) x2-1/2xy +y2/16 >= 0
(=) x2- 2.x.1/4 . y + (y/4)2>= 0
(=) (x-y/4)2>= 0
Ta có
(x-y/4)2>= 0 với mọi x,y
Dấu "=" xảy ra khi (=) (x-y/4)2= 0
(=) x - y/4 =0
(=) 4x = y
Vậy x2+y2/16 >= 1/2 xy Dấu "=" xảy ra khi 4x = y.
b, Ta có:
(m+4)2> 16m
(=)m2+16m + 16 - 16m > 0
(=) m2+16 > 0
Ta có
m2>= 0 với mọi m
=> m2+16 > 0 với mọi m
Vậy (m+4)2> 16m
Chúc bạn học tốt.
nó là bđt Cauchy Schwarz dạng Engel hoặc nhiều tên gọi khác ...
\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\ge\frac{\left(1+1\right)^2}{x+y}=\frac{4}{x+y}\)