Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Bạn tham khảo lời giải tại đây:
Cho đa thức f(x) = x^2+ax+b(a,b thuộc Z).Chứng minh rằng tồn tại số nguyên tố k để f(x) = f(2019).f(2020) - Hoc24
Bài 2:
Ta có: \(f\left(a\right)=6a^5-10a^4-5a^3+23a^2-29a+2005\)
\(=\left(6a^5-10a^4-2a^3\right)-\left(3a^3-5a^2-a\right)+\left(18a^2-30a-6\right)+2011\)
\(=2a^3\left(3a^2-5a-1\right)-a\left(3a^2-5a-1\right)+6\left(3a^2-5a-1\right)+2011\)
\(=\left(2a^3-a+6\right)\left(3a^2-5a-1\right)+2011\)
Mà \(3a^2-5a-1=0\)
\(\Rightarrow f\left(a\right)=2011\)
Vậy...
Đặt \(g\left(x\right)=f\left(x\right)+h\left(x\right)\left(1\right)\)trong đó \(h\left(x\right)=ax^2+bx+c\left(2\right)\)
Tìm \(a,b,c\)sao cho \(g\left(1\right)=g\left(2\right)=g\left(3\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}g\left(1\right)=f\left(1\right)+h\left(1\right)=0\\g\left(2\right)=f\left(2\right)+h\left(2\right)=0\\g\left(3\right)=f\left(3\right)+h\left(3\right)=0\end{cases}}\)\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}h\left(1\right)=-5\\h\left(2\right)=-11\\h\left(3\right)=-21\end{cases}}\)
\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a+b+c=-5\\4a+2b+c=-11\\9a+3b+c=-21\end{cases}}\)\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a+b+c=-5\\3a+b=-6\\5a+b=-10\end{cases}}\)\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a=-2\\b=0\\c=-3\end{cases}}\)Thay vào (2) ta được:
\(h\left(x\right)=4x-3\)
Vì \(g\left(1\right)=g\left(2\right)=g\left(3\right)=0\)mà g(x) bậc 4 có hệ số cao nhất là 1 nên ta có
\(g\left(x\right)=\left(x-1\right)\left(x-2\right)\left(x-3\right)\left(x-x_0\right)\)
Từ \(\left(1\right)\Rightarrow f\left(x\right)=g\left(x\right)-h\left(x\right)\)
\(=\left(x-1\right)\left(x-2\right)\left(x-3\right)\left(x-x_0\right)+4x-3\)
\(f\left(-1\right)=\left(-1-1\right)\left(-1-2\right)\left(-1-3\right)\left(-1-x_0\right)+4.\left(-1\right)-3\)
\(=-24\left(-1-x_0\right)-7\)
\(f\left(5\right)=\left(5-1\right)\left(5-2\right)\left(5-3\right)\left(5-x_0\right)+4.5-3\)
\(=24\left(5-x_0\right)+17\)
\(\Rightarrow f\left(-1\right)+f\left(5\right)\)\(=-24\left(-1-x_0\right)-7+24\left(5-x_0\right)+17\)
\(=24+24x_0+120-24x_0+10\)
\(=154\)
Giả sử đa thức \(f\left(x\right)\) có hệ số nguyên là :
\(f\left(x\right)=a_1x^n+a_2x^{n-1}+a_3x^{n-2}+.....+a_{k1}x+ak\)
\(f\left(7\right)=5\) \(;\) \(f\left(15\right)=9\)
\(\Rightarrow\)\(f\left(7\right)=a_17^n+a_27^{n-1}+a_37^{n-2}+.....+a_{k1}7+ak=5\)
\(\Rightarrow\)\(f\left(15\right)=a_115^n+a_215^{n-1}+a_315^{n-2}+.....+a_{k1}15+ak=9\)
\(\Rightarrow f\left(15\right)-f\left(7\right)=a_1\left(15^n-7^n\right)+a_2\left(15^{n-1}-7^{n-1}\right)+...+\left(a_k-a_k\right)=4\)
Xét vế trái : \(15^n-7^n⋮8\)
\(15^{n-1}-7^{n-1}⋮8\)
\(---------\)
Vậy vế trái chia hết cho 8. Còn vế phải \(4⋮̸8\)
Vậy không có đa thức nào có hệ số nguyên nào mà \(f\left(7\right)=5;f\left(15\right)=9\)
Giả sử tồn tại đa thức với hệ số nguyên f(x) thỏa mãn
f(7) = 5; f(15) = 9, khi đó
\(\left[f\left(15\right)-f\left(7\right)\right]⋮\left(15-7\right)=8\)
\(\Rightarrow\left(9-5\right)⋮8\)
\(\Rightarrow4⋮8\) (vô lý)
Vậy không có đa thức f(x) với hệ số nguyên nào có thể có giá trị f(7) = 5 và f(15) = 9