Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Đặt S=x+y, P=x.y
Ta có:S=2a-1, x^2+y^2=S^2-2P=a^2+2a-3
\Rightarrow P=\frac{1}{2}[(2a-1)^2-(a^2+2a-3)]=\frac{1}{2}(3a^2-6a+4)
Trước hết tìm a để hệ có nghiệm.
Điều kiện để hệ có nghiệm:S^2-4P \geq 0 \Leftrightarrow (2a-1)^2-2(3a^2-6a+4)\geq 0
\Leftrightarrow -2a^2+8a-7 \geq 0 \leftrightarrow 2-\frac{\sqrt{2}}{2} \leq a \leq 2+\frac{\sqrt{2}}{2} (1)
Tìm a để P=\frac{1}{2}(3a^2-6a+4) đạt giá trị nhỏ nhất trên đoạn
[2-\frac{\sqrt{2}}{2} ;2+\frac{\sqrt{2}}{2}]
Ta có hoành độ đỉnh a_0=\frac{6}{2.3}=1Parabol có bề lõm quay lên do đó \min P=P(2-\frac{\sqrt{2}}{2} )$
Vậy với a=2-\frac{\sqrt{2}}{2} thì xy đạt giá trị nhỏ nhất.
\(\hept{\begin{cases}x-y=3\\\left(x-y\right).\left(x^2+xy+y^2\right)=9\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x-y=3\\x^2+xy+y^2=3\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}y=x-3\\x^2+x.\left(x-3\right)+\left(x-3\right)^2=3\left(I\right)\end{cases}}}\)
Phương trình (I) tương đương: \(x^2+x^2-3x+x^2-6x+9=3\Leftrightarrow3x^2-9x+6=0\Rightarrow x^2-3x+2=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x-1\right).\left(x-2\right)=0\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x-1=0\\x-2=0\end{cases}}\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x=1\\x=2\end{cases}\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}y=-2\\y=-1\end{cases}}}\)
Vậy \(\left(x,y\right)=\left(1,-2\right),\left(2,-1\right)\)
a) đặt \(\sqrt{x+6}=a\ge0\)
\(\sqrt{x-2}=b\ge0\)
Ta có: \(\hept{\begin{cases}\left(a-b\right)\left(1+ab\right)=8\\a^2-b^2=8\end{cases}}\)
\(\Rightarrow\left(a-b\right)\left(1+ab\right)=\left(a-b\right)\left(a+b\right)\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)\left(ab-a-b+1\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)\left(a-1\right)\left(b-1\right)=0\)
Đến đây tự làm nhé
Áp dụng Cô si cho 2 số dương ta đc:
\(2\sqrt{4a\left(3a+b\right)}\le4a+\left(3a+b\right)=7a+b\)
Tương tự: \(2\sqrt{4b\left(3b+a\right)}\le4b+\left(3b+a\right)=7b+a\)
\(\Rightarrow2\sqrt{4a\left(3a+b\right)}+2\sqrt{4b\left(3b+a\right)}\le8\left(a+b\right)\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{a\left(3a+b\right)}+\sqrt{b\left(3b+a\right)}\le2\left(a+b\right)\)
\(\Leftrightarrow\frac{a+b}{\sqrt{a\left(3a+b\right)}+\sqrt{b\left(3b+a\right)}}\ge\frac{1}{2}\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}4a=3a+b\\4b=3b+a\\a,b>0\end{cases}}\Leftrightarrow a=b>0\)
Giải HPT:
\(\hept{\begin{cases}x+y-z=c\\y+z-x=a\\z+x-y=b\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}2y=c+a\\2z=a+b\\2x=b+c\end{cases}\Leftrightarrow}}\hept{\begin{cases}y=\frac{c+a}{2}\\x=\frac{a+b}{2}\\x=\frac{b+c}{2}\end{cases}}\)
1 ) Áp dụng BĐT Cauchy :
\(2\sqrt{a\left(3a+b\right)}=\sqrt{4a\left(3a+b\right)}\le\frac{4a+3a+b}{2}\)
Tương tự \(2\sqrt{b\left(3b+a\right)}\le\frac{4b+3b+a}{2}\)
\(\Rightarrow2\left(\sqrt{a\left(3a+b\right)}+\sqrt{b\left(3b+a\right)}\right)\le\frac{8a+8b}{2}=4\left(a+b\right)\)
\(\Rightarrow\sqrt{a\left(3a+b\right)}+\sqrt{b\left(3b+a\right)}\le2\left(a+b\right)\)
\(\Rightarrow\frac{a+b}{\sqrt{a\left(3a+b\right)}+\sqrt{b\left(3b+a\right)}}\ge\frac{a+b}{2\left(a+b\right)}=\frac{1}{2}\left(đpcm\right)\)
Dấu " = " xảy ra khi \(a=b>0\)