Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Xét hiệu \(S_1-S_2=\frac{a^2-b^2}{a+b}+\frac{b^2-c^2}{b+c}+\frac{c^2-a^2}{c+a}\)
\(=\frac{\left(a-b\right)\left(a+b\right)}{a+b}+\frac{\left(b-c\right)\left(b+c\right)}{b+c}+\frac{\left(c-a\right)\left(c+a\right)}{c+a}\)
\(=a-b+b-c+c-a\)
\(=0\)
\(\Rightarrow S_1=S_2\)
+) Áp dụng bđt AM-GM ta có:
\(\frac{a^2}{a+b}+\frac{a+b}{4}\ge2\sqrt{\frac{a^2}{a+b}.\frac{a+b}{4}}=a\)
\(\frac{b^2}{b+c}+\frac{b+c}{4}\ge2\sqrt{\frac{b^2}{b+c}.\frac{b+c}{4}}=b\)
\(\frac{c^2}{c+a}+\frac{c+a}{4}\ge2\sqrt{\frac{c^2}{c+a}.\frac{c+a}{4}}=c\)
Cộng theo vế các đẳng thức trên ta được:
\(S_1+\frac{a+b+c}{2}\ge a+b+c\)
\(\Rightarrow S_1\ge\frac{a+b+c}{2}\left(đpcm\right)\)
a: Xét ΔADC có MO//DC
nên MO/DC=AM/AD(1)
Xét ΔBDC có ON//CD
nên ON/CD=BN/BC(2)
Xét hình thang ABCD có MN//AB//CD
nên AM/AD=BN/BC(3)
Từ (1), (2) và (3) suy ra OM=ON
b: \(\dfrac{1}{AB}+\dfrac{1}{CD}=\dfrac{2}{Mn}\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{MN}{AB}+\dfrac{MN}{CD}=2\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{2\cdot OM}{AB}+\dfrac{2\cdot ON}{DC}=2\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{2\cdot OD}{DB}+\dfrac{2\cdot OB}{DB}=2\)
\(\Leftrightarrow2\cdot\left(OD+OB\right)=2DB\)
=>DB=DB(luôn đúng)
a: Xét ΔAEB vuông tại E và ΔAFC vuông tại F có
góc EAB chung
DO đo: ΔAEB\(\sim\)ΔAFC
Suy ra: AE/AF=AB/AC
hay AE/AB=AF/AC
b: Xét ΔAEF và ΔABC có
AE/AB=AF/AC
góc FAE chung
DO đó: ΔAEF\(\sim\)ΔABC
c: Xét ΔMFB và ΔMCE có
góc MFB=góc MCE
góc FMB chung
Do đó:ΔMFB\(\sim\)ΔMCE
Suy ra: MF/MC=MB/ME
hay \(MF\cdot ME=MB\cdot MC\)
A B C D F O E K I
a)
Xét tam giác ABF và tam giác ACB có:
BAC chung
ABF = ACB (gt)
=> Tam giác ABF ~ Tam giác ACB (g - g)
=> \(\dfrac{\text{AF}}{AB}=\dfrac{AB}{AC}\)
=> \(\dfrac{\text{AF}}{4}=\dfrac{4}{8}\)
=> AF = 2 (cm)
Ta có:
AF + FC = AC
2 + FC = 8
FC = 6 (cm)
b)
D là trung điểm của BC (AD là đường trung tuyến của tam giác ABC)
=> \(DC=\dfrac{1}{2}BC\)
Kẻ đường cao AH (H \(\in\) BC)
Ta có: \(\dfrac{S_{ABC}}{S_{ADC}}=\dfrac{\dfrac{1}{2}\times AH\times AB}{\dfrac{1}{2}\times AH\times DC}=\dfrac{AB}{\dfrac{1}{2}AB}=2\)
=> SABC = 2SADC
c)
Tam giác CKA có OF // KA (gt) nên theo định lý Talet
=> \(\dfrac{FC}{FA}=\dfrac{OC}{OK}\left(1\right)\)
Tam giác OCI có KA // CI (gt) nên theo hệ quả của định lý Talet
=> \(\dfrac{OC}{OK}=\dfrac{CI}{KA}\left(2\right)\)
(1) và (2)
=> \(\dfrac{FC}{FA}=\dfrac{CI}{KA}\)
d)
Tam giác DCI có CI // BO nên theo hệ quả của định lý Talet
=> \(\dfrac{DB}{DC}=\dfrac{BO}{CI}\)
Tam giác EBO có AK // BI nên theo hệ quả của định lý Talet
=> \(\dfrac{EA}{EB}=\dfrac{AK}{BO}\)
Ta có:
\(\dfrac{DB}{DC}\times\dfrac{EA}{EB}\times\dfrac{FC}{FA}=\dfrac{BO}{CI}\times\dfrac{AK}{BO}\times\dfrac{CI}{KA}=1\)
Xét tam giác ABC có AB = c ; AC =a ; BC = a ; AD = x ; BE = y ; CF = z ( AD ; BE ; CF là các đường phân giác).
Kẻ đường thẳng qua C song song với AD cắt AB tại M
=> BAD^ = M^ (đồng vị)
DAC^ = ACM^ (so le trong)
Mà BAD^ = DAC^ ( AD là phân giác)
=> M^ = ACM^
=> tam giác ACM cân tại A
=> AM = AC
Xét tam giác AMC có MC < AC + AM (bất đẳng thức trong tam giác AMC)
=> MC < 2AC
Xét tam giác BMC có: AD // MC
=> tam giác BAD đồng dạng tam giác BMC (hệ quả Ta - lét)
=> AD/MC = AB/MB = AB/ (AB+AM)
=> AD = (MC. AB) / (AB+AC) < ( AB . 2AC)/(AB+AC)
=> 1/AD > (AB+AC)/(AB. 2AC)
=> 1/AD > 1/2AC + 1/2AB
=> 1/AD > 1/2.(1/AC + 1/AB)
=> 1/x > 1/2. ( 1/a + 1/c ) (1)
Chứng minh tương tự: 1/y > 1/2. (1/b + 1/c) (2)
1/z > 1/2.(1/a + 1/b) (3)
Cộng (1) (2) và (3) theo từng vế: ta có:
1/x + 1/y + 1/z > 1/2 .(1/a + 1/c + 1/b + 1/c + 1/a + 1/b )
=>1/x + 1/y + 1/z > 1/a + 1/b + 1/c