Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Sửa đề: Sửa x+y thành x-y đi nhé ở giả thiết âý
Lời giải+làm rõ cái gợi ý
Ta có mệnh đề \(a+b+c=0\) thì \(a^3+b^3+c^3=3abc\), áo dụng cái này với \(a=\left(y-z\right)\sqrt[3]{1-x^3};b=\left(z-x\right)\sqrt[3]{1-y^3};c=\left(x-y\right)\sqrt{1-z^3}\) ta được:
\(\left(y-z\right)^3\left(1-x^3\right)+\left(z-x\right)^3\left(1-y^3\right)+....=...\) (như trên)
Suy ra \(\left(\left(y-z\right)^3+\left(z-x\right)^3+\left(x-y\right)^3\right)-\left(\left(xy-xz\right)^3+\left(yz-xy\right)^3+\left(zx-yz\right)^3\right)\)
\(=3\left(x-y\right)\left(y-z\right)\left(x+z\right)\sqrt[3]{1-x^3}\sqrt[3]{1-y^3}\sqrt[3]{1-z^3}\left(1\right)\)
Ta lại có:\(\left(y-z\right)^3+\left(z-x\right)^3+\left(x-y\right)^3=3\left(x-y\right)\left(y-z\right)\left(z-x\right)\left(2\right)\)
Và \(\left(xy-zx\right)^3+\left(yz-xy\right)^3+\left(zx-yz\right)^3=3xyz\left(x-y\right)\left(y-z\right)\left(z-x\right)\left(3\right)\)
Thay (2),(3) vào (1) ta có:
\(3\left(x-y\right)\left(y-z\right)\left(z-x\right)\left(1-xyz\right)=3\left(x-y\right)\left(y-z\right)\left(z-x\right)\sqrt[3]{1-x^3}\sqrt[3]{1-y^3}\sqrt[3]{1-z^3}\)
Vì x,y,z đôi một khác nhau nên
\(\left(1-xyz\right)=\sqrt[3]{1-x^3}\sqrt[3]{1-y^3}\sqrt[3]{1-z^3}\)
\(\Leftrightarrow\left(1-xyz\right)^3=\left(1-x^3\right)\left(1-y^3\right)\left(1-z^3\right)\)
P.s:mệt quá rồi, vừa làm vừa ngáp có gì mai thanh toán
Bạn lập phương 2 vế của phương trình =0 đó rồi nhân tung ra (vất vả) rồi kết hợp với gợi ý của thầy cậu là ok
Từ \(xy+yz+xz=xyz\Rightarrow\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=1\)
Đặt \(\left(\frac{1}{x};\frac{1}{y};\frac{1}{z}\right)\rightarrow\left(a,b,c\right)\) thì có
\(\frac{c^3}{\left(a+1\right)\left(b+1\right)}+\frac{b^3}{\left(a+1\right)\left(c+1\right)}+\frac{a^3}{\left(b+1\right)\left(c+1\right)}\ge\frac{1}{16}\)\(\forall\hept{\begin{cases}a+b+c=1\\a,b,c>0\end{cases}}\)
Áp dụng BĐT AM-GM ta có:
\(\frac{a^3}{\left(b+1\right)\left(c+1\right)}+\frac{b+1}{64}+\frac{c+1}{64}\ge\frac{3a}{16}\)
Tương tự cho 2 BĐT còn lại rồi cộng theo vế
\(VT+\frac{2\left(a+b+c+3\right)}{64}\ge\frac{3\left(a+b+c\right)}{16}\Leftrightarrow VT\ge\frac{1}{16}\)
Khi \(a=b=c=\frac{1}{3}\Leftrightarrow x=y=z=1\)
a) x4+x3+2x2+x+1=(x4+x3+x2)+(x2+x+1)=x2(x2+x+1)+(x2+x+1)=(x2+x+1)(x2+1)
b)a3+b3+c3-3abc=a3+3ab(a+b)+b3+c3 -(3ab(a+b)+3abc)=(a+b)3+c3-3ab(a+b+c)
=(a+b+c)((a+b)2-(a+b)c+c2)-3ab(a+b+c)=(a+b+c)(a2+2ab+b2-ac-ab+c2-3ab)=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-ac-bc)
c)Đặt x-y=a;y-z=b;z-x=c
a+b+c=x-y-z+z-x=o
đưa về như bài b
d)nhóm 2 hạng tử đầu lại và 2hangj tử sau lại để 2 hạng tử sau ở trong ngoặc sau đó áp dụng hằng đẳng thức dề tính sau đó dặt nhân tử chung
e)x2(y-z)+y2(z-x)+z2(x-y)=x2(y-z)-y2((y-z)+(x-y))+z2(x-y)
=x2(y-z)-y2(y-z)-y2(x-y)+z2(x-y)=(y-z)(x2-y2)-(x-y)(y2-z2)=(y-z)(x2-2y2+xy+xz+yz)
dễ mà bạn :))) gáy tí , sai thì thôi
\(P=\frac{x^3}{\left(1+x\right)\left(1+y\right)}+\frac{y^3}{\left(1+y\right)\left(1+z\right)}+\frac{z^3}{\left(1+z\right)\left(1+x\right)}\)
\(=\frac{x^3\left(1+z\right)}{\left(1+x\right)\left(1+y\right)\left(1+z\right)}+\frac{y^3\left(1+x\right)}{\left(1+y\right)\left(1+x\right)\left(1+z\right)}+\frac{z^3\left(1+y\right)}{\left(1+x\right)\left(1+z\right)\left(1+y\right)}\)
\(=\frac{x^3\left(1+z\right)+y^3\left(1+x\right)+z^3\left(1+y\right)}{\left(1+x\right)\left(1+y\right)\left(1+z\right)}\ge\frac{3\sqrt[3]{x^3y^3z^3\left(1+x\right)\left(1+y\right)\left(1+z\right)}}{\left(1+x\right)\left(1+y\right)\left(1+z\right)}\)
đến đây áp dụng BĐT phụ ( 1+a ) ( 1+b ) ( 1+c ) >= 8abc
EZ :)))
fix đề: CMR:\(\dfrac{x^3}{\left(1+y\right)\left(1+z\right)}+\dfrac{y^3}{\left(1+z\right)\left(1+x\right)}+\dfrac{z^3}{\left(1+y\right)\left(1+x\right)}\)
Áp dụng AM-GM có:
\(\dfrac{x^3}{\left(1+y\right)\left(1+z\right)}+\dfrac{1+y}{8}+\dfrac{1+z}{8}\ge3\sqrt[3]{\dfrac{x^3\left(1+y\right)\left(1+z\right)}{8\cdot8\cdot\left(1+y\right)\left(1+z\right)}}=3\sqrt[3]{\dfrac{x^3}{64}}=\dfrac{3x}{4}\)
Tương tự ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{y^3}{\left(1+z\right)\left(1+x\right)}+\dfrac{1+z}{8}+\dfrac{1+x}{8}\ge\dfrac{3y}{4}\\\dfrac{z^3}{\left(1+y\right)\left(1+x\right)}+\dfrac{1+y}{8}+\dfrac{1+x}{8}\ge\dfrac{3z}{4}\end{matrix}\right.\)
Cộng theo về các BĐT trên ta được:
\(\dfrac{x^3}{\left(1+y\right)\left(1+z\right)}+\dfrac{y^3}{\left(1+z\right)\left(1+x\right)}+\dfrac{z^3}{\left(1+y\right)\left(1+x\right)}+\dfrac{3+x+y+z}{4}\ge\dfrac{3\left(x+y+z\right)}{4}\)
\(\Rightarrow\dfrac{x^3}{\left(1+y\right)\left(1+z\right)}+\dfrac{y^3}{\left(1+z\right)\left(1+x\right)}+\dfrac{z^3}{\left(1+y\right)\left(1+x\right)}\ge\dfrac{3x+3y+3z-x-y-z-3}{4}=\dfrac{2\left(x+y+z\right)-3}{4}\)
\(\Rightarrow\dfrac{x^3}{\left(1+y\right)\left(1+z\right)}+\dfrac{y^3}{\left(1+z\right)\left(1+x\right)}+\dfrac{z^3}{\left(1+y\right)\left(1+x\right)}\ge\dfrac{2\cdot3\sqrt[3]{xyz}-3}{4}=\dfrac{2\cdot3-3}{4}=\dfrac{3}{4}\)
-> Đpcm
Dấu ''='' xảy ra khi x = y = z = 1