Question

[༺ ๖ۣۜPhạm ✌Tuấn ✌Kiệτ ༻]

CMR :

a) \(n^2+7n-40⋮̸121\forall n\in N\)

b)\(a^2+\left(a+1\right)^2+\left(a+2\right)^2+\left(a+3\right)^2+\left(a+4\right)^2⋮̸25\)

Answer 1

[Akai Haruma]

Lời giải:

a) Phản chứng. Giả sử tồn tại \( n\in\mathbb{N}|n^2+7n-40\vdots 121\)

\(\Rightarrow n^2+7n-40\vdots 11\)

\(\Leftrightarrow n^2-4n+4+11n-44\vdots 11\)

\(\Leftrightarrow n^2-4n+4=(n-2)^2\vdots 11\)

\(\Leftrightarrow n-2\vdots 11\) (vì \(11\in\mathbb{P}\) )

Do đó, đặt \(n=11k+2\)

Ta có, \(n^2+7n-40\vdots 121\)

\(\Leftrightarrow (11k+2)^2+7(11k+2)-40\vdots 121\)

\(\Leftrightarrow 121k^2+121k-22\vdots 121\)

\(\Leftrightarrow 22\vdots 121\) (vô lý)

Do đó, điểu giả sử là sai, nghĩa là không tồn tại bất kỳ số tự nhiên nào thỏa mãn \(n^2+7n-40\vdots 121\)

Hay \(n^2+7n-40\not\vdots 121\) (đpcm)

Answer 2

[Akai Haruma]

Lời giải:

b) Giả sử phản chứng, nghĩa là

\(a^2+(a+1)^2+(a+2)^2+(a+3)^2+(a+4)^2\vdots 25\)

Thực hiện khai triển bằng hằng đẳng thức, ta có:

\(a^2+(a+1)^2+(a+2)^2+(a+3)^2+(a+4)^2\)

\(=5a^2+20a+30\)

Khi đó:

\(a^2+(a+1)^2+(a+2)^2+(a+3)^2+(a+4)^2\vdots 25\)

\(\Leftrightarrow 5a^2+20a+30\vdots 25\)

\(\Leftrightarrow a^2+4a+6\vdots 5\)

Xét \(a\equiv 0\pmod 5\rightarrow a^2+4a+6\equiv 6\not\equiv 0\pmod 5\)

Xét \(a\equiv 1\pmod 5\rightarrow a^2+4a+6\equiv 1+4+6\not\equiv 0\pmod 5\)

Xét \(a\equiv 2\pmod 5\rightarrow a^2+4a+6\equiv 18\not\equiv 0\pmod 5\)

Xét \(a\equiv 3\pmod {5}\rightarrow a^2+4a+6=27\not\equiv 0\pmod {5}\)

Xét \(a\equiv 4\pmod 5\Rightarrow a^2+4a+6\equiv 38\not\equiv 0\pmod 5\)

Do đo, \(a^2+4a+6\not\vdots 5\), nghĩa là điều giả sử là sai. Ta có đpcm.