Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
\(1^3+2^3+...+n^3=\left(1+2+...+n\right)^2\)(*)
Với \(n=1;n=2\) (*) đúng
Giả sử (*) đúng với n=k khi đó (*) thành
\(1^3+2^3+...+k^3=\left(1+2+...+k\right)^2\)
Thật vậy giả sử (*) đúng với n=k+1 khi đó (*) thành
\(1^3+2^3+...+k^3+\left(k+1\right)^3=\left(1+2+...+k+k+1\right)^2\left(1\right)\)
Cần chứng minh (1) đúng, mặt khác ta lại có
\(\left(1+2+...+n\right)^2=\left[\frac{n\left(n+1\right)}{2}\right]^2=\frac{\left(n^2+n\right)^2}{4}\)
Đẳng thức cần chứng minh tương đương với
\(\frac{\left(k^2+k\right)^2}{4}+\left(k+1\right)^3=\frac{\left(k^2+3k+2\right)^2}{4}\)
\(\Leftrightarrow4k^3+12k^2+12k+4=4\left(k+1\right)^3\)
\(\Leftrightarrow4\left(k+1\right)^3=4\left(k+1\right)^3\)
Theo nguyên lý quy nạp ta có đpcm
Vậy \(1^3+2^3+...+n^3=\left(1+2+...+n\right)^2=\left[\frac{n\left(n+1\right)}{2}\right]^2\)
Ta có : \(1^3+2^3+3^3+....+n^3\)
=\(\left(1+2+3+4+...+n\right)^2\)
=\(\left(\frac{n\left(n+1\right)}{2}\right)^2\) (đpcm)
cái này đã đc những nhà toán học cm rồi trong phần quy nạp nâng cao và các chuyên đề toán 8 có ghi (mấy trang cuối)
b: Để N là số nguyên dương thì \(\sqrt{x}-3>0\)
\(\Leftrightarrow x>9\)
mà x là số nguyên
nên \(\left\{{}\begin{matrix}x\in Z\\x>9\end{matrix}\right.\)
a/ Bạn cứ khai triển biến đổi tương đương thôi (mà làm biếng lắm)
b/ Đặt \(\left(a;b;c\right)=\left(\frac{1}{x};\frac{1}{y};\frac{1}{z}\right)\Rightarrow xyz=1\)
\(VT=\frac{x^3yz}{y+z}+\frac{y^3zx}{z+x}+\frac{xyz^3}{x+y}=\frac{x^2}{y+z}+\frac{y^2}{z+x}+\frac{z^2}{x+y}\)
\(VT\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{2\left(x+y+z\right)}=\frac{1}{2}\left(x+y+z\right)\ge\frac{1}{2}.3\sqrt[3]{xyz}=\frac{3}{2}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z=1\) hay \(a=b=c=1\)
cảm ơn bạn nhưng nạ có thể giải nốt cậu a hộ mình đc ko
Tất cả các đẳng thức trên đều được chứng minh theo phương pháp quy nạp
Đặt n = k thì có đẳng thức
Chứng minh rằng n = k+1 cũng đúng ( vế trái (k+1) = vế phải (k+1) )
Ta có :
\(1-\frac{3}{n\left(n+2\right)}=\frac{n^2+2n-3}{n\left(n+2\right)}=\frac{\left(n-1\right)\left(n+3\right)}{n\left(n+2\right)}\)
\(\Rightarrow A=\frac{1.5}{2.4}.\frac{2.6}{3.5}...\frac{\left(n-1\right)\left(n+3\right)}{n\left(n+2\right)}\)
\(=\left(\frac{1}{2}.\frac{2}{3}.\frac{3}{4}...\frac{n-1}{n}\right)\left(\frac{5}{4}.\frac{6}{5}.\frac{7}{6}...\frac{n+3}{n+2}\right)\)
\(=\frac{1}{n}.\frac{n+3}{4}=\frac{n+3}{n}.\frac{1}{4}\ge\frac{1}{4}\left(dpcm\right)\)
Ta có: \(\sqrt{a^3+b^3+c^3}=\sqrt{\left(a+b+c\right)^2}=a+b+c\)(với a,b,c dương)
=>với mọi n dương ta cũng viết biểu thức đc dưới dạng:
\(S_n=\left(1+2+3+...+n\right)^2\)
Đặt \(A=1+2+3+....+n\)
Tổng A có số số hạng theo n là:
\(\left(n-1\right):1+1=n\)(số)
Tổng A theo n là:
\(\frac{n\left(n+1\right)}{2}\).Thay A vào ta có:
\(\Rightarrow S_n=\left[\frac{n\left(n+1\right)}{2}\right]^2\)
Ta có công thức sau:
\(1+2+3+...+n=\frac{n\left(n+1\right)}{2}\)
\(\Rightarrow\left(1+2+3+...+n\right)^2=\left[\frac{n\left(n+1\right)}{2}\right]^2\) (*)
\(\Leftrightarrow1^3+2^3+...+n^3=\left(1+2+3+...+n\right)^2\) (1)
Cần chứng minh (1) đúng với mọi n dương
Với \(n=1;n=2\) thì đẳng thức đúng
Giả sử đẳng thức đúng với \(n=k\)
Nghĩa là: \(1^3+2^3+...+k^3=\left(1+2+...+k\right)^2\)
Ta sẽ chứng minh nó đúng với \(n=k+1\)
Viết lại đẳng thức cần chứng minh \(1^3+2^3+...+k^3+\left(k+1\right)^3=\left(1+2+...+k+k+1\right)^2\)(**)
Ta cũng có công thức tương tự (*)
\(\Leftrightarrow\frac{\left(k+k\right)^2}{4}+\left(k+1\right)^3=\frac{\left(k^2+3k+2\right)^2}{4}\)
\(\Leftrightarrow\left(k^2+3k+2\right)^2-\left(k^2+k\right)^2=4\left(k+1\right)^3\)
\(\Leftrightarrow4k^3+12k^2+12k+4=4\left(k+1\right)^3\)
Vậy theo nguyên lý quy nạp ta có đpcm.