Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
\(VT\ge\left(3x+3y\right).\frac{4}{3x+3y}=4\)
Đẳng thức xảy ra khi x = y
Sửa ĐK x, y > 0
Ta có : \(\frac{1}{x+2y}+\frac{1}{2x+y}\ge\frac{\left(1+1\right)^2}{x+2y+2x+y}=\frac{4}{3x+3y}\)( Bunyakovsky dạng phân thức )
=> \(\left(3x+3y\right)\left(\frac{1}{x+2y}+\frac{1}{2x+y}\right)\ge\left(3x+3y\right)\left(\frac{4}{3x+3y}\right)=4\)
Đẳng thức xảy ra khi x = y
bài này mà còn ko làm được thì học nỗi gì
*)biến đổi tương đương \(\left(x-y\right)^2\ge0\)
*)C-S \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\ge\frac{\left(1+1\right)^2}{x+y}=\frac{4}{x+y}\)
*)AM-GM \(x+y\ge2\sqrt{xy};\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\ge2\sqrt{\frac{1}{xy}}\)
\(\Rightarrow\left(x+y\right)\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)\ge4\)
\(\left(x+y\right)\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)=2+\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\right)\ge2+2\sqrt{\frac{x}{y}.\frac{y}{x}}=4\)
Vì anh ghen thôi mà
Ta có:
\(\dfrac{1}{\left(x-1\right)^3}+1+1+\left(\dfrac{x-1}{y}\right)^3+1+1+\dfrac{1}{y^3}+1+1\)
\(\ge3\left(\dfrac{1}{x-1}+\dfrac{x-1}{y}+\dfrac{1}{y}\right)\)
\(\Rightarrow\dfrac{1}{\left(x-1\right)^3}+\left(\dfrac{x-1}{y}\right)^3+\dfrac{1}{y^3}\ge3\left(\dfrac{1}{x-1}+\dfrac{x-1}{y}+\dfrac{1}{y}-2\right)\)
\(=3\left(\dfrac{3-2x}{x-1}+\dfrac{x}{y}\right)\)
Áp dụng BĐT cô si\(\frac{1}{\left(x-1\right)^3}+1+1\ge\sqrt[3]{\frac{1}{\left(x-1\right)^3}\cdot1\cdot1}=\frac{1}{x-1}\)
\(\Rightarrow\frac{1}{\left(x-1\right)^3}\ge\frac{3}{x-1}-2\left(1\right)\)
\(\left(\frac{x-1}{y}\right)^3+1+1\ge3\sqrt[3]{\left(\frac{x-1}{y}\right)^3\cdot1\cdot1}=\frac{3x-3}{y}\)
\(\Rightarrow\left(\frac{x-1}{y}\right)^3\ge\frac{3x-3}{y}-2\left(2\right)\)
\(\frac{1}{y^3}+1+1\ge\sqrt[3]{\frac{1}{y^3}\cdot1\cdot1}=\frac{3}{y}\Rightarrow\frac{1}{y^3}=\frac{3}{y}-2\left(3\right)\)
Cộng vế theo vế của \(\left(1\right);\left(2\right);\left(3\right)\) ta có:
\(VT\ge\frac{3}{x-1}-6+\frac{3x-3}{y}+\frac{3}{y}\)
\(=\frac{3-6x+6}{x-1}+\frac{3x}{y}\)
\(=3\left(\frac{3-2x}{x-1}+\frac{x}{y}\right)\)
A=\(\left(1+x\right)\left(1+\frac{1}{y}\right)+\left(1+\frac{1}{x}\right)\left(1+y\right)=x+\frac{x}{y}+\frac{1}{y}+1+y+\frac{y}{x}+\frac{1}{x}+1\)
=\(\left(x+y+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)+\frac{x}{y}+\frac{y}{x}+2\)
mà x2+y2=1
=>2(x2+y2)>(=)(x+y)2
\(\Rightarrow x+y\le\sqrt{2}\)
áp dụng bất đẳng thức cô si ta có:
\(\left(x+y+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)+\frac{x}{y}+\frac{y}{x}+2\ge\left(x+y+\frac{4}{x+y}\right)+4\)
\(=\left[\left(x+y\right)+\frac{2}{x+y}+\frac{2}{x+y}\right]+4\ge2\sqrt{2}+\sqrt{2}+4=4+3\sqrt{2}\)
\(\left(3x+3y\right)\left(\frac{1}{x+2y}+\frac{1}{2x+y}\right)\ge\left(3x+3y\right).\frac{4}{x+2y+2x+y}=\frac{4\left(3x+3y\right)}{3x+3y}=4\)
Dấu "=" xảy ra khi \(x=y\)
Áp dụng BĐT cơ bản trong SGK: \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge\frac{4}{a+b}\)
\(\frac{1}{x+2y}+\frac{1}{y+2x}\ge\frac{4}{x+2y+y+2x}=\frac{4}{3x+3y}\)