Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
\(5n^3+15n^2+10n\)
\(=\left(5n^3+5n^2\right)+\left(10n^2+10n\right)\)
\(=5n^2\left(n+1\right)+10n\left(n+1\right)\)
\(=n\left(n+1\right)\left(5n+10\right)\)
\(=n\left(n+1\right)\left(n+2\right).5\)
Vì \(n\left(n+1\right)\left(n+2\right)\)là tích 3 số tự nhiên liên tiếp nên chia hết cho 6; tức tích \(n\left(n+1\right)\left(n+2\right).5\)chia hết cho 6.
Tích \(n\left(n+1\right)\left(n+2\right).5\) thừa số 5 nên chia hết cho 5.
Mà ƯCLN ( 5;6) = 1 nên \(n\left(n+1\right)\left(n+2\right).5\)chia hết cho 5.6 = 30
Vậy \(5n^3+15n^2+10n\)chia hết cho 30
Trước tiên bn nên phân tích đa thức thành nhân tử để dễ dàng chứng minh hơn
Ta có: \(A=5n^3+15n^2+10n=5n^3+5n^2+10n^2+10n\)\(=5n^2\left(n+1\right)+10n\left(n+1\right)=\left(n+1\right)\left(5n^2+10n\right)\)\(=5.n\left(n+1\right)\left(n+2\right)\)
Do \(n\left(n+1\right)\left(n+2\right)⋮6\) \((\forall n\in Z)\) (bn tự cm)
\(\Rightarrow A\) \(⋮30\left(\forall n\in Z\right)\)
Thử n = 1 \(\Rightarrow4+15-10=9⋮9\).Vậy mệnh đề đúng với n = 1
Giả sử n = K đúng với mọi n thuộc N
\(\Rightarrow4^K+15K-10⋮9\)
Giờ ta cần chứng minh mệnh đề cũng đúng với n = K + 1
Thật vậy ta có :\(\Rightarrow4^{K+1}+15\left(K+1\right)-10\)
\(=4^K.4+15K+5\)
\(=4^K.4+4.15K-4.10+45\)
\(=4\left(4^K+15K-10\right)+5.9\)
Do \(4^K+15K-10⋮9\left(B2\right)\)
\(45⋮9\)
\(\Rightarrow\)Mệnh đề cũng đúng với n = K + 1
Vậy đpcm.
PP quy nạp toán học lớp 11
1,
A = n^5 - 5n^3 + 4n = n.(n^4 - 5n^2+4)
= n.( n^4 - 4n^2 - n^2 + 4)
= n.[ n^2.(n^2 - 1) - 4.(n^2 - 1)
= n.(n^2) . (n^2 - 4)
= n.(n-1).(n+1).(n+2).(n-2)
A chia hết cho 120 (vìđây là 5 số liên tiếp, vì thế nó chia hết cho 2, 3, 4, 5. Mà 2.3.4.5=120 nên A chia hết cho 120 Với mọi n thuộc Z.)
A=n4-3n3+5n2-9n+6
=> A=n4+3n3-6n3-n2+6n2-3n-6n+6
=>A=(n4+3n3-n2-3n)+(6-6n+6n2-6n3)
=>A=[n3(n+3)-n(n+3)]+6(1-n+n2-n3)
=>A=(n3-n)(n+3)+6(1-n+n2-n3)
Mà (n3-n) chia hết cho 6
=> (n3-n)(n+3) chia hết cho 6
Lại có 6(1-n+n2-n3) chia hết cho 6
=> (n3-n)(n+3)+6(1-n+n2-n3) chia hết cho 6
=> A chia hết cho 6 (đpcm)
Lời giải:
\(A=n^3+3n^2+5n+3\)
\(A=n^2(n+1)+2n(n+1)+3(n+1)\)
\(A=(n+1)(n^2+2n+3)\)
Nếu \(n=3k\Rightarrow n^2+2n+3=9k^2+6k+3=3(3k^2+2k+1)\)
\(\Rightarrow n^2+2n+3\vdots 3\Rightarrow A\vdots 3\)
Nếu \(n=3k+1\Rightarrow n^2+2n+3=n(n+2)+3\)
\(=(3k+1)(3k+3)+3=3[(3k+1)(k+1)+1]\vdots 3\)
\(\Rightarrow A\vdots 3\)
Nếu \(n=3k+2\Rightarrow n+1=3k+3=3(k+1)\vdots 3\)
\(\Rightarrow A\vdots 3\)
Từ các TH trên suy ra A luôn chia hết cho 3 với mọi số tự nhiên $n$