Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Từ: \(p^2-q^2=p-3q+1\)\(\Rightarrow p^2-p=q^2-3q+1\Rightarrow p\left(p-1\right)=q\left(q-1\right)-2q+1\)(1)
Ta thấy p(p-1) và q(q-1) luôn chẵn; Nên Vế trái của (1) chẵn; Vế phải của 1 luôn lẻ với mọi p; q
Nên không có p; q nguyên nào thỏa mãn điều kiện đề bài.
p(p-1)=(q-1)(q-2) (*)
=> p | q-1 hoặc p | q-2
do p nguyên tố, (q-1;q-2)=1
1.Nếu p|q-1 thì p <= q-1
Từ (*) suy ra p-1>=q-2
=> p>=q-1
Do đó p=q-1
Mà p,q nguyên tố nên p=2,q=3
Khi đó p^2+q^2=13 là số nguyên tố
2.Xét p|q-2
Từ (*) => q-2 > 0
Lập luận tương tự TH1 dẫn tới mâu thuẫn
Theo đề bài, ta có: \(p^2+a^2=b^2\Rightarrow p^2=b^2-a^2=\left(b+a\right)\left(b-a\right)\)(1)
Vì p là số nguyên tố nên \(p^2\)có 3 ước là \(1;p;p^2\)(2)
Từ (1) và (2) suy ra có 3 khả năng có thể xảy ra là:
Khả năng 1: \(\hept{\begin{cases}b+a=1\\b-a=p^2\end{cases}}\). Điều này không thể xảy ra vì p > 3 nên \(p^2>9\Rightarrow b-a>9>1=b+a\Rightarrow-2a>0\)vô lí vì a nguyên dương
Khả năng 2: \(\hept{\begin{cases}b+a=p\\b-a=p\end{cases}}\Rightarrow b+a=b-a\Rightarrow2a=0\Rightarrow a=0\)(Loại vì a nguyên dương, không thể bằng 0)
Khả năng 3: \(\hept{\begin{cases}b+a=p^2\left(3\right)\\b-a=1\left(4\right)\end{cases}}\)
Lấy (3) - (4), ta được: \(2a=p^2-1=\left(p+1\right)\left(p-1\right)\)
Vì p là số nguyên tố lớn hơn 3 (*) nên p không chia hết cho 3 nên \(p^2\)chia 3 dư 1\(\Rightarrow p^2-1⋮3\)
\(\Rightarrow2a⋮3\)mà \(\left(2,3\right)=1\)nên \(a⋮3\)(**)
Từ (*) suy ra p lẻ nên \(p-1\)và \(p+1\)là hai số chẵn liên tiếp
Đặt \(p-1=2k\left(k\inℕ,k>1\right)\)thì \(p+1=2k+2\Rightarrow\left(p-1\right)\left(p+1\right)=4k\left(k+1\right)\)
Vì \(k\left(k+1\right)\)là tích của hai số nguyên liên tiếp nên \(k\left(k+1\right)⋮2\)suy ra \(4k\left(k+1\right)⋮8\)
hay \(2a⋮8\Rightarrow a⋮4\)(***)
Từ (**) và (***) suy ra \(a⋮12\)do \(\left(3,4\right)=1\)(đpcm)
Vì \(2a=p^2-1\Rightarrow2\left(p+a+1\right)\) \(=2p+2a+2=2p+p^2-1+2=p^2+2p+1=\left(p+1\right)^2\)là số chính phương (đpcm)
Do p là số nguyên tố nên p là số tự nhiên.
Xét p = 3k + 1=> p2 + 8 = ( 3k + 1 )2 + 8 = 9k2 + 6k + 9 \(⋮\) 3 ( là hợp số )
Xét p = 3k + 2 => p2 + 8 = ( 3k + 2 )2 + 8 = 9k2 + 12k + 12 \(⋮\) 3 ( là hợp số )
Xét p = 3k => k = 1 do p là số nguyên tố => p2 + 8 = 9 + 8 = 17 ( thỏa mãn )
Ta có : p2 + 2 = 11. Mà 11 là số nguyên tố => Điều cần chứng minh
Bài này cũng giống như bài tìm p nguyên tố sao cho p2+8 là số nguyên tố thôi
Cách làm cũng giống luôn
Xét p=2
... loại
Xétp=3
... thỏa mãn
Xét p> 3 thì dùng đồng dư
Ta có: \(p\equiv\pm1\left(mod3\right)\)
\(\Rightarrow p^2\equiv1\left(mod3\right)\)
\(\Rightarrow p^2+8\equiv9\left(mod3\right)\)
\(\Rightarrow p^2+8⋮3\)
Mà \(p^2+8>3\)
Nên là hợp số ( loại)
Vì :
a^2; b^2 là số chính phương
a,b không chia hết cho 3
Nên a^2; b^2 chia 3 dư 1
=> a^2 - b^2 chia hết cho 3 (1)
Ta có :
(a^2 - 1) - (b^2 - 1) = (a - 1)(a + 1) - (b - 1)(b + 1) chia hết cho 8 (2)
Vì :
(a - 1); (a + 1)(a - 1); (a + 1) là 2 số chẵn liên tiếp
(b - 1); (b + 1)(b - 1), (b + 1) là 2 số chẵn liên tiếp
Từ (1), (2)
=> a^2 - b^2 chia hết cho 3.8
=> a^2 - b^2 chia hết cho 24
Vì p là số nguyên tố, Ta xét:
+) p=2 => 2p3+5=2.23+5=21 (loại vì 21 chia hết cho 7)
+) p=3 => p3-6=33-6=21 (loại vì 21 chia hết cho 7)
+) p=5 => p3-6=53-6=119 (loại vì 119 chia hết cho 7)
+) p=7 => p3-6=73-6=337 và 2p3+5=2.73+5=691. Vì 337 và 691 đều là số nguyên tố nên p=7 thỏa mãn đề bài.
+) p>7. Xét p=7k+1, ..., 7k+6 (đều chia 7 dư 13,...,63)
Bài bạn ấy làm đúng rồi
Làm tiếp
________________________________
Với p = 7k + 1 ta có: \(2p^3+5=2\left(7k+1\right)^3+5\equiv2.1+5\equiv0\left(mod7\right)\)=>\(2p^3+5⋮7\)loại
Với p = 7k+2 ta có: \(2p^3+5=2\left(7k+2\right)^3+5\equiv2.2^3+5\equiv0\left(mod7\right)\)=> \(2p^3+5⋮7\)loại
Với p = 7k + 3 ta có: \(p^3-6=\left(7k+3\right)^3-6\equiv3^3-6\equiv0\left(mod7\right)\)=> loại
Với p = 7k + 4 ta có: \(2p^3+5=2\left(7k+4\right)^3+5\equiv2.4^3+5\equiv0\left(mod7\right)\)=> loại
Với p = 7k + 5 ta có: \(p^3-6=\left(7k+5\right)^3-6\equiv5^3-6\equiv0\left(mod7\right)\)=> loại
Với p = 7k + 6 ta có: \(p^3-6=\left(7k+6\right)^3-6\equiv6^3-6\equiv0\left(mod7\right)\)=> loại
Vậy chỉ có p = 7 thỏa mãn
khi đó: p^2+ 10 = 59 là số nguyên tố.( đpcm)
n3 - 3n2 - n + 21
= n(n2 - 1) - 3(n2 - 7)
= n(n - 1)(n + 1) - 3(n2 - 7)
n lẻ => n2 lẻ => n2 + 7 chẵn => n2 + 7 chia hết cho 2
=> - 3(n2 - 7) chia hết cho 6 (chia hết cho 2 và 3)
mà n(n - 1)(n + 1) chia hết cho 6 (tích 3 số nguyên liên tiếp)
Vậy n3 - 3n2 - n + 21 chia hết cho 6 vs mọi n là số nguyên lẻ (đpcm)