Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Phân tích nhân tử nhầm=>giải lại
\(A=2n^2-3n^2+n=n\left(2n^2-3n+1\right)=n\left(n-1\right)\left(2n+1\right)\)\(A=n\left(n-1\right)\left(2n+2-3\right)=\left[2n\left(n-1\right)\left(n+1\right)\right]-3\left(n\right)\left(n-1\right)=2B-3C\)
\(\left\{{}\begin{matrix}B⋮3\\C⋮2\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}2B⋮6\\3C⋮3\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow A⋮6\) => dpcm
Lời giải:
\(A=n\left(2n^3-3n+1\right)=n\left(n-1\right)\left(2n^2+2n-1\right)\)
\(A=n\left(n-1\right)\left[2n\left(n+1\right)-1\right]=2n\left(n-1\right)\left(n+1\right)+n\left(n-1\right)=B-C\)\(\left\{{}\begin{matrix}B⋮2\\B⋮3\end{matrix}\right.\)\(\Rightarrow B⋮6\forall n\in N\)
\(C=n\left(n-1\right)\) không thể chia hết cho 6 với mọi n thuộc N
\(\Rightarrow A\) chỉ chia hết cho 6 với điều kiện \(n\ne3k+2\)
ví dụ đơn giải với k=0 => n= 2
\(A=2.2^3-3.2^2+2=14⋮̸6\)
Kết luận đề sai
Xét tập A có n phần tử
Ta sẽ đếm số tập con của chúng bằng hai cách:
-Cách 1:
+Số tập con có 0 phần tử là: \(C^0_n\) tập
+Số tập con có 1 phần tử là: \(C^1_n\) tập
...
+Số tập con có 0 phần tử là: \(C^n_n\) tập
Khi đó vế trái của đẳng thức cần chứng minh là tổng số tập con của tập đó
Cách 2: Xét tập B là tập con của tập A
Một phần tử i bất kì thuộc A có thể thuộc B hoặc không thuộc B nên phần tử i đó có 2 khả năng xảy ra. Làm tương tự với n-1 phần tử còn lại thì vế phải của đẳng thức cần chứng minh là số tập con của tập A
Ta chứng minh bằng quy nạp.
Ta thấy công thức trên đúng với n = 1.
Giả sử nó đúng đến n. Ta chứng minh nó đúng với n + 1.
Nhận thấy VT là số tập hợp con của một tập hợp có n phần tử.
Nếu ta thêm 1 phần tử thì số tập hợp con tăng thêm chính bằng số tập hợp con của tập hợp đó.
Do đó số tập hợp con của một tập hợp có n + 1 phần tử là: \(2^n+2^n=2^{n+1}\).
Vậy công thức trên đúng với n + 1. Phép cm hoàn tất.
a) Đặt Sn = n3 + 3n2 + 5n
Với n = 1 thì S1 = 9 chia hết cho 3
Giả sử với n = k ≥ 1, ta có Sk = (k3 + 3k2 + 5k) 3
Ta phải chứng minh rằng Sk+1 3
Thật vậy Sk+1 = (k + 1)3 + 3(k + 1)2 + 5(k + 1)
= k3 + 3k2 + 3k + 1 + 3k2 + 6k + 3 + 5k + 5
= k3 + 3k2 + 5k + 3k2 + 9k + 9
hay Sk+1 = Sk + 3(k2 + 3k + 3)
Theo giả thiết quy nạp thì Sk 3, mặt khác 3(k2 + 3k + 3)
3 nên Sk+1
3.
Vậy (n3 + 3n2 + 5n) 3 với mọi n ε N* .
b) Đặt Sn = 4n + 15n - 1
Với n = 1, S1 = 41 + 15.1 – 1 = 18 nên S1 9
Giả sử với n = k ≥ 1 thì Sk= 4k + 15k - 1 chia hết cho 9.
Ta phải chứng minh Sk+1 9.
Thật vậy, ta có: Sk+1 = 4k + 1 + 15(k + 1) – 1
= 4(4k + 15k – 1) – 45k + 18 = 4Sk – 9(5k – 2)
Theo giả thiết quy nạp thì Sk 9 nên 4S1
9, mặt khác 9(5k - 2)
9, nên Sk+1
9
Vậy (4n + 15n - 1) 9 với mọi n ε N*
c) Đặt Sn = n3 + 11n
Với n = 1, ta có S1 = 13 + 11n = 12 nên S1 6
Giả sử với n = k ≥ 1 ,ta có Sk = k3 + 11k 6
Ta phải chứng minh Sk+1 6
Thật vậy, ta có Sk+1 = (k + 1)3 + 11(k + 1) = k3 + 3k + 3k + 1 + 11k + 11
= ( k3 + 11k) + 3(k2 + k + 4) = Sk + 3(k2 + k + 4)
THeo giả thiết quy nạp thì Sk 6, mặt khác k2 + k + 4 = k(k + 1) + 1 là số chẵn nên 3(k2 + k + 4)
6, do đó Sk+1
6
Vậy n3 + 11n chia hết cho 6 với mọi n ε N* .
a) Với n = 1, ta có:
13n – 1 = 131 – 1 = 12 ⋮ 6
Giả sử: 13k - 1 ⋮ 6 với mọi k ≥ 1
Ta chứng minh: 13k+1 – 1 chia hết cho 6
Thật vậy:
13k+1 – 1 = 13k+1 – 13k+ 13k -1 = 12.13k +13k – 1
Vì : 12.13k ⋮ 6 và 13k – 1 ⋮ 6
Nên : 13k+1 – 1 ⋮ 6
Vậy 13n -1 chia hết cho 6
b) Với n = 1, ta có: 3n3 + 15n = 18 ⋮ 9
Giả sử: 3(k + 1)3 + 15(k + 1) Ta chứng minh: 3(k + 1)3 + 15(k + 1) ⋮ 9
Thật vậy:
3(k + 1)3 + 15(k + 1) = 3. (k3 + 3k2 + 3k + 1) + 15(k + 1)
= 3k3 + 9k2 + 9k + 15k + 18
= 3k3 + 15k + 9(k2 + k + 2)
Vì 3(k + 1)3 + 15(k + 1) (giả thiết quy nạp) và 9(k2 + k + 2) ⋮ 9
Nên: 3(k + 1)3 + 15(k + 1) ⋮ 9
Vậy: 3n3 + 15n chia hết cho 9 với mọi n ∈ N*
1/ \(2C^k_n+5C^{k+1}_n+4C^{k+2}_n+C^{k+3}_n\)
\(=2\left(C^k_n+C_n^{k+1}\right)+3\left(C^{k+1}_n+C^{k+2}_n\right)+\left(C^{k+2}_n+C^{k+3}_n\right)\)
\(=2C_{n+1}^{k+1}+3C_{n+1}^{k+2}+C_{n+1}^{k+3}\)
\(=2\left(C_{n+1}^{k+1}+C_{n+1}^{k+2}\right)+\left(C_{n+1}^{k+2}+C^{k+3}_{n+1}\right)\)
\(=2C_{n+2}^{k+2}+C_{n+2}^{k+3}=C_{n+2}^{k+2}+\left(C_{n+2}^{k+2}+C_{n+2}^{k+3}\right)=C_{n+2}^{k+2}+C_{n+3}^{k+3}\)
Áp dụng ct:C(k)(n)=C(k)(n-1)+C(k-1)(n-1) có:
................C(k-1)(n-1)= C(k)(n) - C(k)(n-1)
tương tự: C(k-1)(n-2)= C(k)(n-1) - C(k)(n-2)
................C(k-1)(n-3)= C(k)(n-2) -C(k)(n-3)
.........................................
................C(k-1)(k-1)= C(k)(k) (=1)
Cộng 2 vế vào với nhau...-> đpcm
Ta có :
\(C^{k+1}_{n+1}=C^k_n+C_n^{k+1}\)
\(C^{k+1}_n=C^k_{n-1}+C_{n-1}^{k+1}\)
...........
\(C^{k+1}_{k+2}=C^k_{k+1}+C_{k+1}^{k+1}\)
Từ đó :
\(C^{k+1}_{n+1}=C^k_n+C_{n-1}^k+....C^k_{k+1}+C^{k+1}_{k+1}\)
= \(C^k_n+C_{n-1}^k+....+C^k_{k+1}+C^k_k\)
Có thể chứng minh đẳng thức sau :
\(rC^r_n=nC^{r-1}_{n-1}\) \(\left(r=1,2,3,....,n-1\right)\)
Vì \(n\) là số nguyên tố và \(r< n\), nên \(n\) là ước của \(C^r_n\)