K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
NV
0
4 tháng 6 2018
Ta có: \(a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ca\)
\(\Rightarrow2\left(a^2+b^2+c^2\right)\ge2\left(ab+bc+ca\right)\)
Lại có: \(a^2+1+b^2+1+c^2+1\ge2\left(a+b+c\right)\)
\(\Rightarrow3\left(a^2+b^2+c^2\right)+3\ge2\left(ab+bc+ca+a+b+c\right)=12\)
\(\Rightarrow a^2+b^2+c^2\ge3\)
Dấu = xảy ra khi a=b=c=1
AN
3
N
1 tháng 2 2019
Áp dụng BĐT Cô-si, ta có:
\(a^2+b^2\ge2ab\)
\(b^2+c^2\ge2bc\)
\(c^2+a^2\ge2ac\)
\(\Rightarrow ab+bc+ca\le a^2+b^2+c^2\);\(2\left(a^2+b^2+c^2\right)\ge2\left(ab+bc+ca\right)\)
Có: \(a^2+b^2+c^2< 2\left(a^2+b^2+c^2\right)\)(a,b,c>0)
Vậy ta có đpcm.
1 tháng 2 2019
Câu 4:
Theo BĐT tam giác ta có:
$a< b+c$
$=> a^2< ab+ac$
$b< c+a$
$=> b^2 <bc+ba$
$c<a+b$
$=> c^2 <ca+cb$
Cộng vế với vế 3 BĐT trên ta được:
$a^2+b^2+c^2 < 2(ab+bc+ca) (1)$
Ta có $(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2 ≥ 0$ với mọi a,b,c là độ dài 3 cạnh của tam giác
$<=> a^2-2ab+b^2+b^2-2bc+c^2+c^2-2ca+a^2 ≥ 0$
$<=> 2(a^2+b^2+c^2) ≥ 2(ab+bc+ca)$
$<=> ab+bc+ca ≤ a^2+b^2+c^2 (2)$
Dấu = xảy ra khi $a=b=c$ <=> tam giác đó đều
(1),(2) => đpcm
6 tháng 5 2021
Dirichlet à:))?
Trong 3 số dương a,b,c tồn tại ít nhất 2 số cùng nhỏ hơn hoặc không nhỏ hơn 1
G/s 2 số đó là a và b
Khi đó: \(\left(1-a\right)\left(1-b\right)\ge0\Leftrightarrow ab-a-b+1\ge0\)
\(\Leftrightarrow ab\ge a+b-1\Leftrightarrow2abc\ge2ca+2bc-2c\)
\(\Rightarrow a^2+b^2+c^2+2abc+1\ge a^2+b^2+c^2+2ca+2bc-2c+1\)
Mà \(\left(a^2+b^2+c^2+2ca+2bc-2c+1\right)-2\left(ab+bc+ca\right)\)
\(=\left(a^2-2ab+b^2\right)+\left(c^2-2c+1\right)=\left(a-b\right)^2+\left(c-1\right)^2\ge0\left(\forall a,b,c\right)\)
\(\Rightarrow a^2+b^2+c^2+2ca+2bc-2c+1\ge2\left(ab+bc+ca\right)\)
\(\Rightarrow a^2+b^2+c^2+2abc+1\ge2\left(ab+bc+ca\right)\)
Dấu "=" xảy ra khi: a = b = c = 1
6 tháng 5 2021
Theo nguyên lý Dirichlet, ta thấy rằng trong ba số a,b,c sẽ có hai số hoặc cùng ≥1 hoặc cùng ≤1. Giả sử hai số đó là a,b khi đó:
(a−1)(b−1)≥0.
Từ đây, bằng cách sử dụng hằng đẳng thức:
a2+b2+c2+2abc+1−2(ab+bc+ca)=(a−b)2+(c−1)2+2c(a−1)(b−1)≥0
Ta thu được ngay bất đẳng thức (1), phép chứng minh hoàn tất.
Search mạng!!
NT
3
27 tháng 12 2016
bc(b2-c2)cosA+ca(c2-a2)cosB+ba(a2-b2)cosC
\(\frac{\left(b^2-c^2\right)\left(b^2+c^2-a^2\right)}{2}+\frac{\left(c^2-a^2\right)\left(c^2+a^2-b^2\right)}{2}+\frac{\left(a^2-b^2\right)\left(a^2+b^2-c^2\right)}{2}\)
Giờ nhân mấy cái đấy vô rồi rút gọn là nó bằng 0 đó
Áp dụng Cô-si :
\(a^2+b^2\ge2ab\)
\(b^2+c^2\ge2bc\)
\(a^2+c^2\ge2ac\)
Cộng theo vế :
\(2\left(a^2+b^2+c^2\right)\ge2\left(ab+bc+ac\right)\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ac\)( đpcm )
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=c\)