b) Cho a,b,c>0, a+b+c =...">

K
Khách

Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.

19 tháng 5 2017

-Schwarz: 1/(a+b)+1/(a+c)+1/(b+c) >/ 9/2(a+b+c)=9/2=4,5>4 -> đpcm 

-ta có VT=4(1-a)(1-b)(1-c)=4(b+c)(1-b)(1-c)=[4(b+c)(1-c)](1-b)

Áp dụng bdt cauchy dạng 4ab </ (a+b)^2 

VT </ (b+c+1-c)^2(1-b)=(b+1)^2(1-b)=(b+1)[(1+b)(1-b)]=(b+1)(1-b^2) </ 1+b = a+2b+c (đpcm) 

19 tháng 5 2017

Câu a.

Ta luôn có 

\(\frac{a}{a+b}>\frac{a}{a+b+c}\)  (do a+b < a+b+c)

\(\frac{b}{b+c}>\frac{b}{a+b+c}\)

\(\frac{c}{c+a}>\frac{c}{a+b+c}\)

Cộng theo từng vế rồi rút gọn ta đươc đpcm

19 tháng 5 2017

Cảm ơn b nhé. B biết làm.câu b c d không giúp m với

24 tháng 11 2019

Tiện tay chém trước vài bài dễ.

Bài 1:

\(VT=\Sigma_{cyc}\sqrt{\frac{a}{b+c}}=\Sigma_{cyc}\frac{a}{\sqrt{a\left(b+c\right)}}\ge\Sigma_{cyc}\frac{a}{\frac{a+b+c}{2}}=\frac{2\left(a+b+c\right)}{a+b+c}=2\)

Nhưng dấu bằng không xảy ra nên ta có đpcm. (tui dùng cái kí hiệu tổng cho nó gọn thôi nha!)

Bài 2:

1) Thấy nó sao sao nên để tối nghĩ luôn

2) 

c) \(VT=\left(a-b+1\right)^2+\left(b-1\right)^2\ge0\)

Đẳng thức xảy ra khi a = 0; b = 1

24 tháng 11 2019

2b) \(VT=\left(a-2b+1\right)^2+\left(b-1\right)^2+1\ge1>0\)

Có đpcm

1 tháng 4 2017

c) Áp dụng BĐT cô si cho 2 hai số dương \(a;b\) ta có:

\(a+b\ge2\sqrt{ab}\)

\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge\frac{1}{\sqrt{ab}}\)

\(\Rightarrow\left(a+b\right)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)\ge4\)

\(\Rightarrow\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge\frac{4}{a+b}\)

Dấu "=" xảy ra khi \(\Leftrightarrow a=b\)

3 tháng 7 2017

Bài 2:

a) Áp dụng BĐT AM - GM ta có:

\(\dfrac{1}{4}\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\right)=\dfrac{1}{4a}+\dfrac{1}{4b}\) \(\ge2\sqrt{\dfrac{1}{4^2ab}}=\dfrac{2}{4\sqrt{ab}}=\dfrac{1}{2\sqrt{ab}}\)

\(\ge\dfrac{1}{a+b}\) (Đpcm)

b) Trừ 1 vào từng vế của BĐT ta được BĐT tương đương:

\(\left(\frac{x}{2x+y+z}-1\right)+\left(\frac{y}{x+2y+z}-1\right)+\left(\frac{z}{x+y+2z}-1\right)\le\frac{-9}{4}\)

\(\Leftrightarrow-\left(x+y+z\right)\left(\frac{1}{2x+y+z}+\frac{1}{x+2y+z}+\frac{1}{x+y+2z}\right)\le-\frac{9}{4}\)

\(\Leftrightarrow\left(x+y+z\right)\left(\frac{1}{2x+y+z}+\frac{1}{x+2y+z}+\frac{1}{x+y+2z}\right)\ge\frac{9}{4}\)

Áp dụng BĐT phụ \(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\ge\dfrac{9}{a+b+c}\) ta có:

\(\dfrac{1}{2x+y+z}+\dfrac{1}{x+2y+z}+\dfrac{1}{x+y+2z}\)

\(\ge\dfrac{9}{2x+y+z+x+2y+z+x+y+2z}=\dfrac{9}{4\left(x+y+z\right)}\)

\(\Leftrightarrow\left(x+y+z\right)\left(\frac{1}{2x+y+z}+\frac{1}{x+2y+z}+\frac{1}{x+y+2z}\right)\ge\frac{9}{4}\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{x}{2x+y+z}+\dfrac{y}{x+2y+z}+\dfrac{z}{x+y+2z}\le\dfrac{3}{4}\) (Đpcm)

3 tháng 7 2017

Bài 1:

Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz dạng Engel ta có:

\(VT\ge\dfrac{\left(a+b\right)^2}{a-1+b-1}=\dfrac{\left(a+b\right)^2}{a+b-2}\)

Nên cần chứng minh \(\dfrac{\left(a+b\right)^2}{a+b-2}\ge8\)

\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)^2\ge8\left(a+b-2\right)\)

\(\Leftrightarrow a^2+2ab+b^2\ge8a+8b-16\)

\(\Leftrightarrow\left(a+b-4\right)^2\ge0\) luôn đúng