Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
\(\left(a+b+c\right)^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ac\)
\(=a^2+b^2+c^2+2\left(ab+bc+ac\right)=3\left(a^2+b^2+c^2\right)\)
\(\Rightarrow2\left(ab+bc+ac\right)=3\left(a^2+b^2+c^2\right)-\left(a^2+b^2+c^2\right)\)
\(\Rightarrow2\left(ab+bc+ac\right)=2\left(a^2+b^2+c^2\right)\)
\(\Rightarrow ab+bc+ac=a^2+b^2+c^2\)
\(\Rightarrow a=b=c\left(đpcm\right)\)
dễ mà cô nương
\(a^3-b^3=\left(a-b\right)\left(a^2+ab+b^2\right)\)
\(\left(a^2+ab+b^2\right)=\left\{\left(a+b\right)^2-ab\right\}\)
\(a^3-b^3=\left(a-b\right)\left(25-6\right)=19\left(a-b\right)\)
ta có
\(a=-5-b\)
suy ra
\(a^3-b^3=19\left(-5-2b\right)\) " xong "
2, trên mạng đầy
3, dytt mọe mày ngu ab=6 thì cmm nó phải chia hết cho 6 chứ :)
4 . \(x^2-\frac{2.1}{2}x+\frac{1}{4}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}>0\) tự làm dcmm
5. trên mạng đầy
6 , trên mang jđầy
3 bài thì thấy 1 bài có trên mạng rồi, buồn thật:( Bài cuối từ từ tí mở Maple lên check đề. Thấy lạ lạ không dám làm ngay:v
Bài 1: Ez game, chỉ là Buffalo Way, mà Ji Chen (tác giả BĐT Iran 96 có giải rồi, mình không giải lại): hard inequalities
Bài 2: Đặt \(\left(a;b;c\right)=\left(\frac{3x}{x+y+z};\frac{3y}{x+y+z};\frac{3z}{x+y+z}\right)\) rồi quy đồng lên xem.
Bài 3: Tí check đề cái đã.
a) Ta có: \(a+b+c=0\)
\(\Rightarrow2abc\left(a+b+c\right)=0\)
\(\Rightarrow2a^2bc+2ab^2c+2abc^2=0\)
Ta lại có:
\(a^4+b^4+c^4=2\left(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2\right)^2\) (cái này bạn tự chứng minh nha)
\(\Rightarrow a^4+b^4+c^4=2a^2b^2+2b^2c^2+2c^2a^2+4a^2bc+4ab^2c+4abc^2\)
\(\Rightarrow a^4+b^4+c^4=2\left(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2+2a^2bc+2ab^2c+2abc^2\right)\)
\(\Rightarrow a^4+b^4+c^4=2\left(ab+bc+ca\right)^2\left(đpcm\right)\)
b) Ta có: \(a+b+c=0\)
\(\Rightarrow a=-\left(b+c\right)\)
\(\Rightarrow a^2=b^2+c^2+2bc\)
\(\Rightarrow a^2-b^2-c^2=2bc\)
\(\Rightarrow a^4+b^4+c^4-2a^2b^2-2a^2c^2+2b^2c^2=4b^2c^2\)
\(\Rightarrow a^4+b^4+c^4=4b^2c^2+2a^2b^2+2a^2c^2-2b^2c^2\)
\(\Rightarrow a^4+b^4+c^4=2a^2b^2+2a^2c^2+2b^2c^2\)
\(\Rightarrow a^4+b^4+c^4+a^4+b^4+c^4=a^4+b^4+c^4+2a^2b^2+2a^2c^2+2b^2c^2\)
\(\Rightarrow2\left(a^4+b^4+c^4\right)=\left(a^2+b^2+c^2\right)^2\)
\(\Rightarrow a^4+b^4+c^4=\frac{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{2}\left(đpcm\right)\)
Chúc bạn học tốt và tíck cho mìk vs nhé!
Bài 2:
\(a^4+b^4\ge a^3b+b^3a\)
\(\Leftrightarrow a^4-a^3b+b^4-b^3a\ge0\)
\(\Leftrightarrow a^3\left(a-b\right)-b^3\left(a-b\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\left(a^2+ab+b^2\right)\ge0\)
ta thấy : \(\orbr{\orbr{\begin{cases}\left(a-b\right)^2\ge0\\\left(a^2+ab+b^2\right)\ge0\end{cases}}}\Leftrightarrow dpcm\)
Dấu " = " xảy ra khi a = b
tk nka !!!! mk cố giải mấy bài nữa !11
ĐỀ sai nhé: \(a^2+b^2=4\Rightarrow4-a^2< 0\)
Vậy làm sao tồn tại căn của nó chứ
C1:Áp dụng Bất đẳng thức AM-GM ta có:
\(\dfrac{1}{a+b}+\dfrac{1}{b+c}+\dfrac{1}{c+a}=\dfrac{1^2}{a+b}+\dfrac{1^2}{b+c}+\dfrac{1^2}{c+a}\ge\)
\(\ge\dfrac{\left(1+1+1\right)^2}{a+b+b+c+c+a}=\dfrac{9}{2\left(a+b+c\right)}\)
\(\Rightarrow A=\left(a+b+c\right)\left(\dfrac{1}{a+b}+\dfrac{1}{b+c}+\dfrac{1}{c+a}\right)=\left(a+b+c\right).\dfrac{9}{2\left(a+b+c\right)}=\dfrac{9}{2}\)Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=c\)
C2: Khai triển
\(A=\left(a+b+c\right)\left(\dfrac{1}{a+b}+\dfrac{1}{b+c}+\dfrac{1}{c+a}\right)=\)
\(=1+\dfrac{c}{a+b}+1+\dfrac{a}{b+c}+1+\dfrac{b}{c+a}\) (bn tự khai triển đầy đủ nha)
Áp dụng BĐT Nesbitt ta có:
\(A=\left(1+1+1\right)+\left(\dfrac{a}{b+c}+\dfrac{b}{c+a}+\dfrac{c}{a+b}\right)\ge\)
\(\left(1+1+1\right)+\dfrac{3}{2}=\dfrac{9}{2}\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=c\)
Ta có :
\(\dfrac{a^2}{a^2+3}>\dfrac{a^2}{a^2+b^2+c^2+4}\)
\(\dfrac{b^2}{b^2+2}>\dfrac{b^2}{a^2+b^2+c^2+4}\)
\(\dfrac{c^2}{c^2+1}>\dfrac{c^2}{a^2+b^2+c^2+4}\)
\(\dfrac{4}{a^2+4+c^2}\ge\dfrac{4}{a^2+b^2+c^2+4}\)
Cộng vế với vế lại ta được :
\(P>\dfrac{a^2+b^2+c^2+4}{a^2+b^2+c^2+4}=1\) (đpcm)
\(a^2+b^2+3>ab+a+b\)
\(\Leftrightarrow2\left(a^2+b^2+3\right)>2\left(ab+a+b\right)\)
\(\Leftrightarrow\left(a^2-2a+1\right)+\left(b^2-2b+1\right)+\left(a^2-2ab+b^2\right)+4>0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-1\right)^2+\left(b-1\right)^2+\left(a-b\right)^2+4>0\) \(\forall a,b\)
Vậy \(a^2+b^2+3>ab+a+b\forall a,b\)