CC
1
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
TG
6
T
26 tháng 5 2019
Note: Em không chắc.Rất mong được mọi người góp ý ạ,em chưa biết cách dùng sos nên đành dùng cách khác ạ.
BĐT \(\Leftrightarrow3\left(a^4+b^4+c^4\right)\ge\left(a+b+c\right)\left(a^3+b^3+c^3\right)\)
\(\Leftrightarrow3\left(a^4+b^4+c^4\right)\ge a^{ 4}+b^4+c^4+ab\left(a^2+b^2\right)+bc\left(b^2+c^2\right)+ca\left(c^2+a^2\right)\)
\(\Leftrightarrow2\left(a^4+b^4+c^4\right)-ab\left(a^2+b^2\right)-bc\left(b^2+c^2\right)-ca\left(c^2+a^2\right)\ge0\) (*)
Dễ thấy BĐT trên là hệ quả của BĐT sau: \(a^4-ab\left(a^2+b^2\right)+b^4\ge0\) (1)
\(\Leftrightarrow a^4+b^4\ge ab\left(a^2+b^2\right)\)(2). Theo BĐT Cauchy-Schwarz dạng Engel,ta có:
\(VT=\frac{\left(a^2\right)^2}{1}+\frac{\left(b^2\right)^2}{1}\ge\frac{\left(a^2+b^2\right)^2}{2}=\frac{\left(a^2+b^2\right)\left(a^2+b^2\right)}{2}\)
Ta luôn có \(\left(a-b\right)^2\ge0\forall a,b\inℝ\Rightarrow a^2+b^2\ge2ab\)
Suy ra: \(VT=a^4+b^4\ge\frac{\left(a^2+b^2\right)\left(a^2+b^2\right)}{2}\ge\frac{2ab\left(a^2+b^2\right)}{2}=ab\left(a^2+b^2\right)=VP\)
Do vậy BĐT (2) đúng suy ra BĐT (1) đúng (do 2 BĐT này tương đương nhau)
Tương tự với hai BĐT còn lại ta cũng có: \(b^4-bc\left(b^2+c^2\right)+c^4\ge0\);
\(c^4-ca\left(c^2+a^2\right)+a^4\ge0\). Cộng theo vế 3 BĐT trên suy ra (*) đúng hay ta có Q.E.D
26 tháng 9 2018
\(2a^4+a+2b^4+b+2c^4+c\ge3\left(a^3+b^3+c^3\right)\)
\(\Leftrightarrow2\left(a^4+b^4+c^4\right)\ge3\left(a^3+b^3+c^3\right)-3\)
\(=2\left(a^3+b^3+c^3\right)+a^3+1+1+b^3+1+1+c^3+1+1-9\)
\(\ge2\left(a^3+b^3+c^3\right)+3\left(a+b+c\right)-9=2\left(a^3+b^3+c^3\right)\)
\(\Rightarrow a^4+b^4+c^4\ge a^3+b^3+c^3\)
14 tháng 7 2018
ta có : \(a^8+b^8-a^6b^2-a^2b^6\ne\left(a^2-b^2\right)\left(a^4+a^2b^2+b^4\right)\)
và \(a^2b^2\left(a^2-b^2\right)\left(a^4+a^2b^2+b^4\right)\) cũng có thể âm
\(\Rightarrow\) sai
21 tháng 10 2017
Ta có: \(\left(a-1\right)^3=a^3-3a^2+3a-1\)
\(=a\left(a^2-3a+3\right)-1=a\left(a-\dfrac{3}{2}\right)^2+\dfrac{3}{4}a-1\ge\dfrac{3}{4}a-1\)
Tương tự cho 2 BĐT còn lại ta cũng có:
\(\left(b-1\right)^3\ge\dfrac{3}{4}b-1;\left(c-1\right)^3\ge\dfrac{3}{4}c-1\)
Cộng theo vế 3 BĐT trên ta có:
\(VT\ge\dfrac{3}{4}\left(a+b+c\right)-3=\dfrac{3}{4}\cdot3-3=-\dfrac{3}{4}\)
15 tháng 10 2016
Áp dụng bunhiacopsky ta có
(a3 + b3 + c3)(\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\))\(\ge\)(\(\frac{\sqrt{a^3}}{\sqrt{a}}+\frac{\sqrt{b^3}}{\sqrt{b}}+\frac{\sqrt{c^3}}{\sqrt{c}}\))2 = (a + b + c)2
NT
1
2 tháng 6 2018
- Xét hiệu: a4 + b4 - ab3 -a3b = a( a3 - b3) - b ( a3 - b3)
= (a-b)2 . ( a2 + ab + b2) ≥ 0 với mọi x ∈ R ( đpcm).
(a+b+c)(a3+b3+c3)
=a4+a3b+a3c+ab3+b4+b3c+ac3+bc3+c4
=a4+b4+c4+(a3b+ab3)+(bc3+b3c)+(c3a+ca3)
=a4+b4+c4+ab(a2+b2)+bc(b2+c2)+ca(c2+a2)
=(a4+b4+c4)+ab(a2+b2)+bc(b2+c2)+ca(c2+a2)
áp dụng bđt bunhia ta có:
\(\left(a^4+b^4\right)\left(1+1\right)\ge\left(a^2+b^2\right)^2\ge2ab\left(a^2+b^2\right)\)
\(\Leftrightarrow a^4+b^4\ge ab\left(a^2+b^2\right)\)
cmtt ta có:
\(b^4+c^4\ge bc\left(b^2+c^2\right);c^4+a^4\ge ca\left(c^2+a^2\right)\)
\(\Leftrightarrow\left(a^3+b^3+c^3\right)\left(a+b+c\right)\le a^4+b^4+c^4+a^4+b^4+b^4+c^4+c^4+a^4=3\left(a^4+b^4+c^4\right)\)