Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
\(\frac{x^4+y^4+z^4+t^4}{x^3+y^3+z^3+t^3}=\frac{\left(x^4+y^4+z^4+t^4\right)\left(x^2+y^2+z^2+t^2\right)}{\left(x^3+y^3+z^3+t^3\right)\left(x^2+y^2+z^2+t^2\right)}\)
\(\ge\frac{x^3+y^3+z^3+t^3}{x^2+y^2+z^2+t^2}=\frac{\left(x^3+y^3+z^3+t^3\right)\left(x+y+z+t\right)}{\left(x^2+y^2+z^2+t^2\right)\left(x+y+z+t\right)}\)
\(\ge\frac{x^2+y^2+z^2+t^2}{x+y+z+t}\ge\frac{\left(x+y+z+t\right)^2}{4\left(x+y+z+t\right)}=\frac{1}{4}\)
Dấu "=" xảy ra tại x=y=z=t=1/4
Bài làm có tham khảo của GOD Đạt Hồ
Áp dụng bđt cauchy schwarz dạng engel , ta có :
\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}+\frac{1}{t}=\frac{1^2}{x}+\frac{1^2}{y}+\frac{1^2}{z}+\frac{1^2}{t}\ge\frac{16}{x+y+z+t}\)
\(< =>\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}+\frac{1}{t}+1\ge\frac{16}{x+y+z+t}+1\)
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi \(x=y=z=t\)
Vậy ta có điều phải chứng minh
cách khác :3
Áp dụng bđt phụ : \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge\frac{4}{a+b}\)
\(< =>\frac{a+b}{ab}\ge\frac{4}{a+b}\)
\(< =>\frac{a+b}{ab}.\left(a+b\right).ab\ge\frac{4}{a+b}.\left(a+b\right).ab\)
\(< =>\left(a+b\right)^2\ge4ab\)
\(< =>a^2+2ab+b^2\ge4ab\)
\(< =>\left(a-b\right)^2\ge\)(luôn đúng)
Nên ta có : \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}+\frac{1}{t}+1\ge\frac{4}{x+y}+\frac{4}{z+t}+1\ge\frac{16}{x+y+z+t}+1\)
1/ ĐKXĐ: \(x\ge1;y\ge4\)
\(M=\frac{1\sqrt{x-1}}{x}+\frac{2.\sqrt{y-4}}{2y}\le\frac{1+x-1}{2x}+\frac{4+y-4}{4y}=\frac{1}{2}+\frac{1}{4}=\frac{3}{4}\)
\(M_{max}=\frac{3}{4}\) khi \(\left\{{}\begin{matrix}\sqrt{x-1}=1\\\sqrt{y-4}=2\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=2\\y=8\end{matrix}\right.\)
2/ \(\Leftrightarrow x^2-2xy+y^2+x^2+4x+4=8\)
\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2+\left(x+2\right)^2=8=2^2+2^2\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left(x-y\right)^2=4\\\left(x+2\right)^2=4\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow...\)
3/ \(\frac{x^2}{y^2}+1\ge2\sqrt{\frac{x^2}{y^2}}=\frac{2x}{y}\)
Tương tự: \(\frac{y^2}{z^2}+1\ge\frac{2y}{z}\) ; \(\frac{z^2}{x^2}+1\ge\frac{2z}{x}\)
\(\Rightarrow\frac{x^2}{y^2}+\frac{y^2}{z^2}+\frac{z^2}{x^2}+3\ge\frac{2x}{y}+\frac{2y}{z}+\frac{2z}{x}=\frac{x}{y}+\frac{y}{z}+\frac{z}{x}+\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{z}+\frac{z}{x}\right)\)
\(\Rightarrow\frac{x^2}{y^2}+\frac{y^2}{z^2}+\frac{z^2}{x^2}+3\ge\frac{x}{y}+\frac{y}{z}+\frac{z}{x}+3\sqrt{\frac{xyz}{xyz}}=\frac{x}{y}+\frac{y}{z}+\frac{z}{x}+3\)
\(\Rightarrow\frac{x^2}{y^2}+\frac{y^2}{z^2}+\frac{z^2}{x^2}\ge\frac{x}{y}+\frac{y}{z}+\frac{z}{x}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z\)
từ đó =>3x=y+z+t
=>4x=x+y+z+t
tương tự=>4y=x+y+z+t
4z=x+y+z+t
4t=x+y+z+t
=>x=y=z=t=>F=4
mà bài này lớp 7 chứ,có phải lớp 9 đâu
\(xy\ge6;y\ge3\Leftrightarrow x\ge2\)
\(GTNN_P=3+2=5\)
Vậy Min P = 5<=> x = 2 ; y = 3
Phạm Tuấn Đạt -,- CTV trash ak
Bài 1 : (nguồn: Nguyễn Hưng Phát CTV) đừng bảo t copy -,-
\(P=x+y+2013=\left(x+\frac{2}{3}y\right)+\frac{1}{3}y+2013\ge2\sqrt{\frac{2}{3}xy}+\frac{1}{3}y+2013\)
\(\ge2\sqrt{\frac{2}{3}.6}+\frac{1}{3}.3+2013=4+1+2013=2018\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\)\(\hept{\begin{cases}x=\frac{2}{3}y\\xy=6\\y=3\end{cases}\Leftrightarrow x=2;y=3}\)
...
Bài 2 làm sau
đặt A=x/x+y+z +y/y+z+t +z/z+t+x +t/t+x+y
ta có x/x+y+z>x/x+y+z+t
y/y+z+t>y/x+y+z+t
z/z+t+x>z/z+t+x+y
t/t+x+y>t/x+t+y+z
=>A>x/x+y+t+z +t/x+y+t+z +z/x+y+t+z +y/x+t+y+z=x+y+z+t/x+y+z+t=1>3/4 (1)
*)y/y+z+t<y+x/y+z+t+x
x/x+y+z<x+t/x+y+z+t
z/z+t+x<z+y/x+y+z+t
t/t+x+y<t+z/t+x+y+z
=>A<y+x/x+y+z+t +x+t/x+y+z+t +z+y/x+y+z+t +t+z/x+y+z+t
=y+x+x+t+z+y+t+z/x+y+z+t=2(x+y+z+t)/x+y+z+t=2<5/2 (2)
từ (1) và (2) =>3/4<A<5/2
=>
Ta có:
\(\frac{x}{x+y+z+t}+\frac{y}{x+y+z+t}+\frac{z}{x+y+z+t}+\frac{t}{x+y+z+t}<\frac{x}{x+y+z}+\frac{y}{y+z+t}+\frac{z}{z+t+x}+\frac{t}{t+x+y}<\frac{x+t}{x+y+z+t}+\frac{x+y}{x+y+z+t}+\frac{y+z}{x+y+z+t}+\frac{z+t}{x+y+z+t}\)
\(\Rightarrow1<\frac{x}{x+y+z}+\frac{y}{y+z+t}+\frac{z}{z+t+x}+\frac{t}{t+x+y}<2\)
\(\Rightarrow\frac{3}{4}<\frac{x}{x+y+z}+\frac{y}{y+z+t}+\frac{z}{z+t+x}+\frac{t}{t+x+y}<\frac{5}{2}\)