Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Ta có:
\(\dfrac{x^2}{\sqrt{1-x^2}}=\dfrac{x^3}{x\sqrt{1-x^2}}\)
Áp dụng BĐT Cosi ta có:
\(x\sqrt{1-x^2}\le\dfrac{x^2+1-x^2}{2}=\dfrac{1}{2}\)
\(\Rightarrow\dfrac{x^3}{x\sqrt{1-x^2}}\ge2x^3\)
Cmtt:
\(\dfrac{y^3}{y\sqrt{1-y^2}}\ge2y^3\)
\(\dfrac{z^3}{z\sqrt{1-z^2}}\ge2z^3\)
\(\Rightarrow\dfrac{x^2}{\sqrt{1-x^2}}+\dfrac{y^2}{\sqrt{1-y^2}}+\dfrac{z^2}{\sqrt{1-z^2}}=\dfrac{x^3}{x\sqrt{1-x^2}}+\dfrac{y^3}{y\sqrt{1-y^2}}+\dfrac{z^3}{z\sqrt{1-z^2}}\ge2\left(x^3+y^3+z^3\right)=2\) (ĐPCM)
Lời giải:
Áp dụng BĐT Bunhiacopxky:
\((x\sqrt{1-y^2}+y\sqrt{1-z^2}+z\sqrt{1-x^2})^2\leq (x^2+y^2+z^2)(1-y^2+1-z^2+1-x^2)\)
Áp dụng BĐT AM-GM:
\((x^2+y^2+z^2)(1-y^2+1-z^2+1-x^2)\leq \left(\frac{x^2+y^2+z^2+1-y^2+1-z^2+1-x^2}{2}\right)^2=(\frac{3}{2})^2\)
Do đó:
\((x\sqrt{1-y^2}+y\sqrt{1-z^2}+z\sqrt{1-x^2})^2\leq (\frac{3}{2})^2\)
\(\Rightarrow x\sqrt{1-y^2}+y\sqrt{1-z^2}+z\sqrt{1-x^2}\leq \frac{3}{2}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(x^2+y^2+z^2=1-y^2+1-z^2+1-x^2\Leftrightarrow x^2+y^2+z^2=\frac{3}{2}\)
Vậy $A=\frac{3}{2}$
Biến đổi vế trái ta có:
\(a^3+b^3+c^3=\left(a+b\right)^3-3ab\left(a+b\right)+c^3\)
\(=\left(a+b+c\right)^3-3\left(a+b\right)c\left(a+b+c\right)-3ab\left(a+b\right)\)
\(=\left(a+b+c\right)^3-3\left(a+b\right)\left(ac+bc+c^2+ab\right)\)
\(=\left(a+b+c\right)^3-3\left(a+b\right)\left(a+c\right)\left(b+c\right)\)*
Vì \(a+b+c=0\)\(\Rightarrow\)*\(=-3\left(a+b\right)\left(a+c\right)\left(b+c\right)\)
cũng có \(\left\{{}\begin{matrix}a+b=-c\\a+c=-b\\b+c=-a\end{matrix}\right.\) Thay vào biểu thức trên ta được
\(-3\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)=3abc\)
\(VT=VP\)=> đpcm
vì \(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}=0\Rightarrow\dfrac{1}{x^3}+\dfrac{1}{y^3}+\dfrac{1}{z^3}=\dfrac{3}{xyz}\)
ta có \(B=\dfrac{xyz}{x^3}+\dfrac{xyz}{y^3}+\dfrac{xyz}{z^3}=xyz\left(\dfrac{1}{x^3}+\dfrac{1}{y^3}+\dfrac{1}{z^3}\right)\)
mà \(\dfrac{1}{x^3}+\dfrac{1}{y^3}+\dfrac{1}{z^3}=\dfrac{3}{xyz}\Rightarrow B=xyz.\dfrac{3}{xyz}=3\)
\(\text{Cho 3 số dương x, y, z thỏa mãn }x+y+z=3\)
\(\text{Chứng minh rằng }T=\dfrac{x}{x+\sqrt{3x+yz}}+\dfrac{y}{y+\sqrt{3y+xz}}+\dfrac{z}{z+\sqrt{3z+xy}}\le1\)
➤➤➤Chứng minh:
➢ Áp dụng bất đẳng thức AM - GM
\(\Rightarrow\dfrac{x}{x+\sqrt{3x+yz}}=\dfrac{x}{x+\sqrt{x\left(x+y+z\right)+yz}}\left(\text{vì }x+y+z=3\right)=\dfrac{x}{x+\sqrt{\left(x+y\right)\left(z+x\right)}}\le\dfrac{x}{x+\sqrt{\left(\sqrt{xz}+\sqrt{xy}\right)^2}}=\dfrac{x}{x+\sqrt{xz}+\sqrt{xy}}=\dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}}\)
➢ Tương tự:
\(\dfrac{y}{y+\sqrt{3y+xz}}\le\dfrac{\sqrt{y}}{\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}}\)
\(\dfrac{z}{z+\sqrt{3z+xy}}\le\dfrac{\sqrt{z}}{\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}}\)
➢ Công vế theo vế 3 bất đẳng thức cùng chiều
\(\Rightarrow\dfrac{x}{x+\sqrt{3x+yz}}+\dfrac{y}{y+\sqrt{3y+xz}}+\dfrac{z}{z+\sqrt{3z+xy}}\le\dfrac{\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}}{\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}}=1\)
➢ \(\text{Đẳng thức xảy ra khi }x=y=z=1\)
➤ \(Max_T=1\Leftrightarrow x=y=z=1\)
Lời giải:
Đặt \(ax^3=by^3=cz^3=k^3\)
\(\Rightarrow \left\{\begin{matrix} a=\frac{k^3}{x^3}\\ b=\frac{k^3}{y^3}\\ c=\frac{k^3}{z^3}\end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix} \sqrt[3]{a}=\frac{k}{x}\\ \sqrt[3]{b}=\frac{k}{y}\\ \sqrt[3]{c}=\frac{k}{z}\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow \sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b}+\sqrt[3]{c}=k\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)=k(*)\)
Mặt khác theo tính chất dãy tỉ số bằng nhau:
\(k^3=ax^3=by^3=cz^3=\frac{ax^2}{\frac{1}{x}}=\frac{by^2}{\frac{1}{y}}=\frac{cz^2}{\frac{1}{z}}=\frac{ax^2+by^2+cz^2}{\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}}=ax^2+by^2+cz^2\)
\(\Rightarrow k=\sqrt[3]{ax^2+by^2+cz^2}(**)\)
Từ $(*)$ và $(**)$ ta có đpcm.
2.
a/ Áp dụgn hệ quả bđt cô si,ta có :
\(A=xy+yz+zx\le\dfrac{\left(x+y+z\right)}{3}=\dfrac{a^2}{3}\)
Vậy GTLN A =a^2/3 khi x= y =z =a/3
b/Áp dụng BĐT Cô-Si dạng Engel,ta có :
\(B=\dfrac{x^2}{1}+\dfrac{y^2}{1}+\dfrac{z^2}{z}\ge\dfrac{\left(x+y+z\right)^2}{3}=\dfrac{a^2}{3}\)
Vậy GTNN của B = a^2/2 khi x=y=z =a/3
\(B=\dfrac{3x}{1-x}+\dfrac{4\left(1-x\right)}{x}+7\ge2\sqrt{\dfrac{3x}{1-x}.\dfrac{4\left(1-x\right)}{x}}+7=7+4\sqrt{3}=\left(2+\sqrt{3}\right)^2\)
Vậy min B = \(\left(2+\sqrt{3}\right)^2\) khi \(\dfrac{3x}{1-x}=\dfrac{4\left(1-x\right)}{x}\Leftrightarrow x=\left(\sqrt{3}-1\right)^2\)
Ta có với x,y,z >0 thì:\(\dfrac{x^2}{\sqrt{1-x^2}}=\dfrac{x^3}{x\sqrt{1-x^2}}\)
Bất đẳng thức Cô si ta có:
\(x\sqrt{1-x^2}\le\dfrac{x^2+1-x^2}{2}=\dfrac{1}{2}\\ \Rightarrow\dfrac{1}{x\sqrt{1-x^2}}\ge2\\ \Rightarrow\dfrac{x^3}{x\sqrt{1-x^2}}\ge2x^3\Leftrightarrow\dfrac{x^2}{\sqrt{1-x^2}}\ge2x^3\)
Tương tự: \(\dfrac{y^2}{\sqrt{1-y^2}}\ge2y^3;\dfrac{z^2}{\sqrt{1-z^2}}\ge2z^3\)
Từ đó ta có:\(\dfrac{x^2}{\sqrt{1-x^2}}+\dfrac{y^2}{\sqrt{1-y^2}}+\dfrac{z^2}{\sqrt{1-z^2}}\ge2\left(x^3+y^3+z^3\right)=2\left(dpcm\right)\)