Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
\(2P-2=2\left(xy+yz+zx\right)-2\left(x^2+y^2+z^2\right)+x^2\left(y-z\right)^2+y^2\left(z-x\right)^2+z^2\left(x-y\right)^2\)
\(=-\left(x-y\right)^2-\left(y-z\right)^2-\left(z-x\right)^2+x^2\left(y-z\right)^2+y^2\left(z-x\right)^2+z^2\left(x-y\right)^2\)
\(=\left(x-y\right)^2\left(z^2-1\right)+\left(y-z\right)^2\left(x^2-1\right)+\left(z-x\right)^2\left(y^2-1\right)\le0\)
\(\text{( Do }x^2;y^2;z^2\le1\text{)}\)
\(\Rightarrow2P\le2\Rightarrow P\le1\)
\(\text{Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi 1 trong 3 số bằng 1; 2 số còn lại bằng 0.}\)
\(x+y+z=7\Rightarrow z=7-x-y\Rightarrow xy+z-6=xy+7-x-y-6=xy-x-y+1\)
\(=\left(x-1\right)\left(y-1\right)\)
Tương tự: \(yz+x-6=\left(y-1\right)\left(z-1\right);zx+y-6=\left(z-1\right)\left(x-1\right)\)
Viết lại: \(H=\frac{1}{\left(x-1\right)\left(y-1\right)}+\frac{1}{\left(y-1\right)\left(z-1\right)}+\frac{1}{\left(z-1\right)\left(x-1\right)}\)
\(=\frac{x-1+y-1+z-1}{\left(x-1\right)\left(y-1\right)\left(z-1\right)}=\frac{x+y+z-3}{xyz-\left(xy+yz+zx\right)+x+y+z-1}\)
\(=\frac{7-3}{3-13+7-1}=-1\)(Từ gt tính được \(xy+yz+zx=13\))
Ta có :
\(xy+yz+zx\)= \(\frac{\left(x+y+z\right)^2-x^2-y^2-z^2}{2}\)= \(\frac{7^2-23}{2}\)= \(13\)
Ta lại có :
\(xy+z-6=xy+z+1-x-y-z\)= \(\left(x-1\right)\left(y-1\right)\)
\(\Rightarrow A=\)\(\frac{1}{\left(x-1\right)\left(y-1\right)}\)\(+\)\(\frac{1}{\left(y-1\right)\left(z-1\right)}\)\(+\)\(\frac{1}{\left(z-1\right)\left(x-1\right)}\)
\(=\)\(\frac{x+y+z-3}{xyz-xy-yz-zx+x+y+z-1}\)
\(=-1\)
Bài 1: Chỉ cần chú ý đẳng thức \(a^5+b^5=\left(a^2+b^2\right)\left(a^3+b^3\right)-a^2b^2\left(a+b\right)\) là ok!
Làm như sau: Từ \(x^2+\frac{1}{x^2}=14\Rightarrow x^2+2.x.\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}=16\)
\(\Rightarrow\left(x+\frac{1}{x}\right)^2=16\). Do \(x>0\Rightarrow x+\frac{1}{x}>0\Rightarrow x+\frac{1}{x}=4\)
: \(x^5+\frac{1}{x^5}=\left(x^2+\frac{1}{x^2}\right)\left(x^3+\frac{1}{x^3}\right)-\left(x+\frac{1}{x}\right)\)
\(=14\left(x^3+\frac{1}{x^3}\right)-\left(x+\frac{1}{x}\right)\)
\(=14\left(x+\frac{1}{x}\right)\left(x^2+\frac{1}{x^2}-1\right)-4\)
\(=14.4.\left(14-1\right)-4=724\) là một số nguyên (đpcm)
P/s: Lâu ko làm nên cũng ko chắc đâu nhé!