Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
\(\frac{1}{x+1}=\left(1-\frac{1}{y+1}\right)+\left(1-\frac{1}{z+1}\right)=\frac{y}{y+1}+\frac{z}{z+1}\ge2\sqrt{\frac{yz}{\left(y+1\right)\left(z+1\right)}}\) (1)
Tương tự :
\(\frac{1}{y+1}\ge2\sqrt{\frac{xz}{\left(x+1\right)\left(z+1\right)}}\) (2)
\(\frac{1}{z+1}\ge2\sqrt{\frac{xy}{\left(x+1\right)\left(y+1\right)}}\) (3)
từ (1) (2) và (3) => \(\frac{1}{x+1}\cdot\frac{1}{y+1}\cdot\frac{1}{z+1}\ge8\sqrt{\frac{x^2y^2z^2}{\left[\left(x+1\right)\left(y+1\right)\left(z+1\right)\right]^2}}\)
=> \(\frac{1}{\left(x+1\right)\left(y+1\right)\left(z+1\right)}\ge8\cdot\frac{xyz}{\left(x+1\right)\left(y+1\right)\left(z+1\right)}\)
=> \(1\ge8xyz\)
=> \(xyz\le\frac{1}{8}\)
Dấu '=' xảy ra khi x = y = z = 1/2
Ta có
\(x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2\ge xyz\left(x+y+z\right)\)
\(=>x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2+2\left(xyz\right)\left(x+y+z\right)\ge3xyz\left(x+y+z\right)\)
\(=>\left(xy+yz+zx\right)^2\ge3\left(x+y+z\right)\)
\(=>\frac{1}{\left(x+y+z\right)}\ge\frac{3}{\left(xy+yz+zx\right)^2}\)
\(=>A\ge\frac{3}{\left(xy+yz+zx\right)^2}-\frac{2}{xy+yz+zx}\)
đặt
\(\frac{1}{xy+yz+zx}=t\)
\(=>A\ge3t^2-2t\)
mà \(\left(3t-1\right)^2\ge0=>9t^2-6t+1\ge0=>3t^2-2t+\frac{1}{3}\ge0\Rightarrow3t^2-2t\ge-\frac{1}{3}\)
\(=>A\ge-\frac{1}{3}\)(dpcm)
Dấu = xảy ra khi x=y=z=1
tinh tuoi con gai bang 1/4 tuoi me , tuoi con bang 1/5 tuoi me . tuoi con gai cong voi tuoi cua con trai
la 18 tuoi . hoi me bao nhieu tuoi ?
Áp dụng bất đẳng thức AM - GM, ta được: \(2yz+2=x^2+\left(y^2+2yz+z^2\right)=x^2+\left(y+z\right)^2\ge2\sqrt{x^2.\left(y+z\right)^2}=2x\left(y+z\right)\Rightarrow yz+1\ge x\left(y+z\right)\)\(\Rightarrow VT\le\frac{x^2}{x^2+x+x\left(y+z\right)}+\frac{y+z}{x+y+z+1}+\frac{1}{xyz+3}=\frac{x+y+z}{x+y+z+1}+\frac{1}{xyz+3}\)
- Nếu \(x+y+z\le2\)thì \(VT\le1-\frac{1}{x+y+z+1}+\frac{1}{xyz+3}\le1-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}=1\)
- Nếu \(x+y+z\ge2\), ta đặt x + y + z = p; xy + yz + zx = q; xyz = r thì áp dụng bất đẳng thức Schur, ta được \(VT\le\frac{p}{p+1}+\frac{1}{\frac{p\left(4q-p^2\right)}{9}+3}=\frac{p}{p+1}+\frac{9}{p^3-4p+27}\)
Khảo sát hàm trên với \(p\in\left[\sqrt{2};2\right]\)ta cũng có \(VT\le1\)
Vậy ta có: \(\frac{x^2}{x^2+yz+x+1}+\frac{y+z}{x+y+z+1}+\frac{1}{xyz+3}\le1\)
Đẳng thức xảy ra khi x = y = 1; z = 0
a/ \(2a^2+a=3b^2+b\)
\(\Leftrightarrow2\left(a^2-b^2\right)+\left(a+b\right)=b^2\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)\left(2a+2b+1\right)=b^2\)
Giả sử d là UCLN (a - b, 2a + 2b + 1) thì ta có
b2 chia hết cho d2 => b chia hết cho d
Mà 2a + 2b + 1 - 2(a - b) = 4b + 1 chia hết cho d
=> 1 chia hết cho d hay d = 1
=> (a - b) và (2a + 2b +1) nguyên tố cùng nhau
Vậy 2a + 2b + 1 là số chính phương
2 SỐ NGUYÊN TỐ CÙNG NHAU KHÔNG CÓ NGHĨA LÀ 1 TRONG 2 SỐ ĐÓ LÀ SỐ CHÍNH PHƯƠNG : VIDU 5 VÀ 6 LÀ 2 SỐ NG TỐ CÙNG NHAU VÌ CÓ UCLN=1 NHƯNG KO CÓ SỐ NÀO LÀ SỐ CHÍNH PHƯƠNG CẢ...HIHIHI
Từ giả thiết:\(x+y+z=xyz\Leftrightarrow\frac{1}{xy}+\frac{1}{yz}+\frac{1}{zx}=1\)
Đặt \(\frac{1}{x}=a,\frac{1}{y}=b,\frac{1}{z}=c\)\(\Rightarrow ab+bc+ca=1\)
Ta có:\(\frac{1}{\sqrt{1+x^2}}+\frac{1}{\sqrt{1+y^2}}+\frac{1}{\sqrt{1+z^2}}\)\(=\sqrt{\frac{1}{1+x^2}}+\sqrt{\frac{1}{1+y^2}}+\sqrt{\frac{1}{1+z^2}}\)
\(=\sqrt{\frac{\frac{1}{x}}{\frac{1}{x}+x}}+\sqrt{\frac{\frac{1}{y}}{\frac{1}{y}+y}}+\sqrt{\frac{\frac{1}{z}}{\frac{1}{z}+z}}\)\(=\sqrt{\frac{a}{a+\frac{1}{a}}}+\sqrt{\frac{b}{b+\frac{1}{b}}}+\sqrt{\frac{c}{c+\frac{1}{c}}}\)
\(=\frac{a}{\sqrt{a^2+1}}+\frac{b}{\sqrt{b^2+1}}+\frac{c}{\sqrt{c^2+1}}\)
Đến đây:\(\frac{a}{\sqrt{a^2+1}}=\frac{a}{\sqrt{a^2+ab+bc+ca}}=\frac{a}{\sqrt{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}}\)
\(=\sqrt{\frac{a}{a+b}.\frac{a}{a+c}}\le\frac{1}{2}\left(\frac{a}{a+b}+\frac{a}{a+c}\right)\)
Tương tự:\(\frac{b}{\sqrt{b^2+1}}\le\frac{1}{2}\left(\frac{b}{b+a}+\frac{b}{b+c}\right);\frac{c}{\sqrt{c^2+1}}\le\frac{1}{2}\left(\frac{c}{c+a}+\frac{c}{c+b}\right)\)
Cộng 3 bất đẳng thức lại ta có điều phải chứng minh :))
Ta có \(\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)^2=\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{1}{z^2}+\frac{2}{xyz}\left(x+y+z\right)=\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{1}{z^2}+\frac{1}{xyz}=4\)
\(\Rightarrow\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=2\)(vì \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}>0\))
Mặt khác, ta có : \(\frac{1}{x+y+z}=2\) .
\(\Rightarrow\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=\frac{1}{x+y+z}\Leftrightarrow\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\left(\frac{1}{z}-\frac{1}{x+y+z}\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\frac{x+y}{xy}+\frac{x+y}{z\left(x+y+z\right)}=0\Leftrightarrow\left(x+y\right)\left(\frac{1}{xy}+\frac{1}{z\left(x+y+z\right)}\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\frac{\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)}{xyz\left(x+y+z\right)}=0\Leftrightarrow\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)=0\)
=> x+y = 0 hoặc y + z = 0 hoặc z + x = 0
Từ đó suy ra P = 0 (lí do vì x,y,z là các số mũ lẻ)
\(\frac{1}{x+1}=1-\frac{1}{y+1}+1-\frac{1}{z+1}=\frac{y}{y+1}+\frac{z}{z+1}\ge2\sqrt{\frac{yz}{\left(y+1\right)\left(z+1\right)}}\)
Tương tự: \(\frac{1}{y+1}\ge2\sqrt{\frac{zx}{\left(z+1\right)\left(x+1\right)}}\) ; \(\frac{1}{z+1}\ge2\sqrt{\frac{xy}{\left(x+1\right)\left(y+1\right)}}\)
Nhân vế với vế:
\(\frac{1}{\left(x+1\right)\left(y+1\right)\left(z+1\right)}\ge\frac{8xyz}{\left(x+1\right)\left(y+1\right)\left(z+1\right)}\)
\(\Rightarrow xyz\le\frac{1}{8}\)
Đề bài ko đúng rồi