NT
0
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
DM
0
NT
1
KN
29 tháng 7 2020
Đặt \(A=x^2+y^2+z^2+xy+yz+zx\)
Áp dụng BĐT Bunyakovsky dạng phân thức, ta được: \(2A=x^2+y^2+z^2+\left(x+y+z\right)^2\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{3}+\left(x+y+z\right)^2\)
\(=\frac{4\left(x+y+z\right)^2}{3}=12\Rightarrow A\ge6\)
Đẳng thức xảy ra khi x = y = z = 1
H
2
3 tháng 7 2017
Ta có :
\(M=x^4+y^4+z^4=\left(x^4+\frac{1}{9}\right)+\left(y^4+\frac{1}{9}\right)+\left(z^4+\frac{1}{9}\right)-\frac{1}{3}\)
Áp dụng BĐT \(a^2+b^2\ge2ab\) ( "=" khi a=b ) , ta có :
\(M\ge\frac{2}{3}x^2+\frac{2}{3}y^2+\frac{2}{3}z^2-\frac{1}{3}\)
\(\Rightarrow M\ge\frac{1}{3}\left(2x^2+2y^2+2z^2\right)-\frac{1}{3}\)
\(\Rightarrow M\ge\frac{1}{3}\left[\left(x^2+y^2\right)+\left(y^2+z^2\right)+\left(x^2+z^2\right)\right]-\frac{1}{3}\)
\(\Rightarrow M\ge\frac{2}{3}.\left(xy+yz+xz\right)-\frac{1}{3}=\frac{2}{3}-\frac{1}{3}=\frac{1}{3}\) ( Vì xy+yz+xz=1 )
Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z=\frac{1}{\sqrt{3}}\)
Vậy \(GTNN_M=\frac{1}{3}\) khi \(x=y=z=\frac{1}{\sqrt{3}}\)
( Ko bít đúng Ko ) :)
NT
3
7 tháng 11 2018
\(A=\left(x^2-yz\right)\left(y^2-zx\right)\left(z^2-xy\right)=\sqrt{\left(x^2-yz\right)\left(y^2-zx\right)}.\sqrt{\left(y^2-zx\right)\left(z^2-xy\right)}.\sqrt{\left(z^2-xy\right)\left(x^2-yz\right)}\)Giả sử \(x^2\ge yz;y^2\ge zx;z^2\ge xy\)
Theo Cosi ta có :
\(\sqrt{\left(x^2-yz\right)\left(y^2-zx\right)}\le\frac{x^2-yz+y^2-zx}{2}\)
\(\sqrt{\left(y^2-zx\right)\left(z^2-xy\right)}\le\frac{y^2-zx+z^2-xy}{2}\)
\(\sqrt{\left(z^2-xy\right)\left(x^2-yz\right)}\le\frac{z^2-xy+x^2-yz}{2}\)
Cộng theo vế ta được :
\(A\le\frac{x^2-yz+y^2-zx+y^2-zx+z^2-xy+z^2-xy+x^2-yz}{2}=\left(x^2+y^2+z^2\right)-\left(xy+yz+zx\right)\)
\(=1-\left(xy+yz+zx\right)\le1-\left(x^2+y^2+z^2\right)=1-1=0\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\)\(x=y=z=\frac{1}{3}\) hoặc \(x=y=z=\frac{-1}{3}\) ( thỏa mãn giả sử )
Chúc bạn học tốt ~
PS : ko chắc :v
AH
Akai Haruma
Giáo viên
28 tháng 6 2019
Lời giải:
Áp dụng BĐT Cauchy cho các số không âm:
\(x^2+\frac{3-\sqrt{5}}{2}y^2\geq 2\sqrt{\frac{3-\sqrt{5}}{2}}xy=\sqrt{6-2\sqrt{5}}xy=(\sqrt{5}-1)xy\)
\(x^2+\frac{3-\sqrt{5}}{2}z^2\geq 2\sqrt{\frac{3-\sqrt{5}}{2}}xz=\sqrt{6-2\sqrt{5}}xz=(\sqrt{5}-1)xz\)
\(\frac{\sqrt{5}-1}{2}y^2+\frac{\sqrt{5}-1}{2}z^2\geq 2\sqrt{(\frac{\sqrt{5}-1}{2})^2}yz=(\sqrt{5}-1)yz\)
Cộng theo vế các BĐT trên và rút gọn:
\(\Rightarrow 2x^2+y^2+z^2\geq (\sqrt{5}-1)(xy+yz+xz)=\sqrt{5}-1\)
Vậy \(A_{\min}=\sqrt{5}-1\)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
28 tháng 6 2019
Chi tiết hơn 1 chút, trong các bài AM-GM hệ số không đối xứng thì thường sử dụng cân bằng hệ số để giải, nhìn vào biểu thức A ta dự đoán điểm rơi xảy ra khi \(y=z=kx\), vậy ta xây dựng các BĐT sau:
\(k^2x^2+y^2\ge2kxy\) ; \(k^2x^2+z^2\ge2kxz\); \(y^2+z^2\ge2yz\)
Bây giờ ta cần cộng vế với vế sao cho vế phải có thể biến về giả thiết \(xy+xz+yz\), vậy thì 3 BĐT trên cần thay đổi 1 chút cho hệ số vế phải của chúng cân nhau:
\(k^2x^2+y^2\ge2kxy\Leftrightarrow kx^2+\frac{1}{k}y^2\ge2xy\)
Tương tự: \(kx^2+\frac{1}{k}z^2\ge2xz\)
Cộng vế với vế:
\(2kx^2+\left(1+\frac{1}{k}\right)y^2+\left(1+\frac{1}{k}\right)z^2\ge2\left(xy+xz+yz\right)\)
Nhìn vào vế trái, để nó giống với biểu thức A thì ta cần có:
\(\frac{1+\frac{1}{k}}{2k}=\frac{1}{2}\Leftrightarrow1+\frac{1}{k}=k\Leftrightarrow k^2-k-1=0\) \(\Rightarrow k=\frac{\sqrt{5}+1}{2}\)
Vậy là xong
DA
0