Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Ta có:
\(P=\left(\frac{1}{x^2+y^2+z^2}+\frac{1}{3xy}+\frac{1}{3yz}+\frac{1}{3zx}\right)+\frac{5}{12}\left(\frac{1}{xy}+\frac{1}{yz}+\frac{1}{zx}\right)\)
\(\ge\frac{\left(1+1+1+1\right)^2}{x^2+y^2+z^2+3xy+3yz+3zx}+\frac{5}{12}.\frac{\left(1+1+1\right)^2}{xy+yz+zx}\)
\(=\frac{16}{\left(x+y+z\right)^2+\left(xy+yz+zx\right)}+\frac{5}{12}.\frac{9}{xy+yz+zx}\)
\(\ge\frac{16}{\left(x+y+z\right)^2+\frac{\left(x+y+z\right)^2}{3}}+\frac{5}{12}.\frac{9}{\frac{\left(x+y+z\right)^2}{3}}\)
\(=\frac{93}{4\left(x+y+z\right)^2}=\frac{93}{4\left(2019\right)^2}\)
Dấu "=" xảy ra <=> x = y = z = 2019/3.
Ta co A = 2(x+y)+\(\frac{2}{x+y}\)\(\ge2\sqrt{2\left(x+y\right).\frac{2}{x+y}}\)=4 khi x=y =\(\frac{1}{2}\)
\(\frac{x^2}{y+1}+\frac{y+1}{4}\ge x;\frac{y^2}{z+1}+\frac{z+1}{4}\ge y;\frac{z^2}{x+1}+\frac{x+1}{4}\ge z\)
\(\Rightarrow VT\ge\frac{3}{4}\left(x+y+z\right)-\frac{3}{4}\ge\frac{3}{4}.2=\frac{3}{2}\)
\(Q=\frac{x}{1+y^2}+\frac{y}{1+z^2}+\frac{z}{1+x^2}+\frac{1}{1+y^2}+\frac{1}{1+z^2}+\frac{1}{1+x^2}\)
Ta có \(\frac{x}{1+y^2}=\frac{x\left(1+y^2\right)-xy^2}{1+y^2}=x-\frac{xy^2}{1+y^2}\ge x-\frac{xy^2}{2y}=x-\frac{xy}{2}\)
Tương tự \(\frac{y}{1+z^2}\ge y-\frac{yz}{2}\)
\(\frac{z}{1+x^2}\ge z-\frac{zx}{2}\)
Lại có \(\frac{1}{1+y^2}=\frac{y^2+1-y^2}{1+y^2}=1-\frac{y^2}{1+y^2}\ge1-\frac{y^2}{2y}=1-\frac{y}{2}\)
Tương tự \(\frac{1}{1+x^2}\ge1-\frac{x}{2}\)
\(\frac{1}{1+z^2}\ge1-\frac{z}{2}\)
Cộng từng vế các bđt trên ta được
\(Q\ge\left(x+y+z\right)-\frac{xy+yz+zx}{2}+3-\frac{x+y+z}{2}\)\(=\frac{9}{2}-\frac{3}{2}=3\)
Dấu "=" xảy ra khi x=y=z=1
cho x,y là 2 số dương thỏa mãn x+y=1 , tìm GTNN của A= \(\frac{x}{\sqrt{1-x}}+\frac{y}{\sqrt{1-y}}\)
Bạn vào link tham khảo :
https://hoidap247.com/cau-hoi/1226651
# Hok tốt !
\(x+y=1\Rightarrow\hept{\begin{cases}1-x=y\\1-y=x\end{cases}}\)
thay vào A ta được : \(A=\frac{1-y}{\sqrt{y}}+\frac{1-x}{\sqrt{x}}\)
\(\Rightarrow A=\frac{1}{\sqrt{y}}-\sqrt{y}+\frac{1}{\sqrt{x}}-\sqrt{x}\)
\(\Rightarrow A=\left(\frac{1}{\sqrt{x}}+\frac{1}{\sqrt{y}}\right)-\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\right)\)
áp dụng \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge\frac{4}{a+b}\) ta có : \(\frac{1}{\sqrt{x}}+\frac{1}{\sqrt{y}}\ge\frac{4}{\sqrt{x}+\sqrt{y}}\)
áp dụng \(\left(a+b\right)^2\le2\left(a^2+b^2\right)\) ta có : \(\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\right)^2\le2\left(\sqrt{x}^2+\sqrt{y}^2\right)=2\)
\(\Rightarrow\sqrt{x}+\sqrt{y}\le\sqrt{2}\)
\(\Rightarrow A\ge\sqrt{8}-\sqrt{2}=\sqrt{2}\)
dấu = xảy ra khi a=y=1/2
\(\frac{x+1}{1+y^2}=\frac{\left(x+1\right)\left(y^2+1\right)-y^2\left(x+1\right)}{1+y^2}=x+1-\frac{y^2\left(x+1\right)}{1+y^2}\ge x+1-\frac{xy+y}{2}\)
Tương tự ta có:
\(\frac{y+1}{z^2+1}\ge y+1-\frac{yz+z}{2}\)
\(\frac{z+1}{1+x^2}\ge z+1-\frac{zx+x}{2}\)
Cộng vế theo vế ta có:
\(Q\ge3+\left(x+y+z\right)-\frac{x+y+z+xy+yz+zx}{2}\)
\(=3+\frac{x+y+z-xy-yz-zx}{2}\)
Có BĐT phụ sau:
\(\left(a+b+c\right)^2\ge3\left(ab+bc+ca\right)\) ( tự cm )
\(\Rightarrow xy+yz+zx\le\frac{\left(x+y+z\right)^2}{3}=3\)
Khi đó \(P\ge3\)
Dấu "=" xảy ra tại \(x=y=z=1\)
Mình gợi ý để bạn được người khác giúp nhé. Khi đăng bài bạn nên đăng từng câu. Đừng đăng nhiều câu cùng lúc vì nhìn vô không ai muốn giải hết. Giờ bạn tách ra từng câu đăng lại đi. Sẽ có người giúp đấy
1. \(1=x^2+y^2\ge2xy\Rightarrow xy\le\frac{1}{2}\)
\(A=-2+\frac{2}{1+xy}\ge-2+\frac{2}{1+\frac{1}{2}}=-\frac{2}{3}\)
max A = -2/3 khi x=y=\(\frac{\sqrt{2}}{2}\)
\(\frac{1}{xy}+\frac{1}{xz}=\frac{1}{x}\left(\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)\ge\frac{1}{x}.\frac{4}{y+z}=\frac{4}{\left(4-t\right)t}=\frac{4}{4-\left(t-2\right)^2}\ge1\) với t = y+z => x =4 -t
Ta có: \(xy\le\frac{\left(x+y\right)^2}{4}=\frac{1}{4}\)
\(A=\frac{1}{x^2+y^2}+\frac{3}{4xy}=\left(\frac{1}{x^2+y^2}+\frac{1}{2xy}\right)+\frac{1}{4xy}\)
\(\ge\frac{4}{x^2+y^2+2xy}+1=\frac{4}{\left(x+y\right)^2}+1=5\)
Dấu "=" xảy ra khi x=y=1/2
Đúng ko biết !?