VK
2
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
HH
2
25 tháng 7 2018
\(VT=\dfrac{1}{x^2+xy}+\dfrac{1}{y^2+xy}\)
\(\ge\dfrac{4}{x^2+2xy+y^2}\)
\(=\dfrac{4}{\left(x+y\right)^2}>4\)
25 tháng 7 2018
Cách khác.
Ta có: \(A=\dfrac{1}{x\left(x+y\right)}+\dfrac{1}{y\left(x+y\right)}=\dfrac{1}{x+y}\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\right)\)
\(=\dfrac{1}{x+y}.\dfrac{x+y}{xy}=\dfrac{1}{xy}\)
Áp dụng BĐT cho các số x,y >0 , ta có:
\(x+y\ge2\sqrt{xy}\Rightarrow\left(x+y\right)^2\ge4xy\Rightarrow\dfrac{\left(x+y\right)^2}{4}\ge xy\)
Và x+y \(\le\)1 \(\Rightarrow xy\le\dfrac{1}{4}\) \(\Rightarrow A\ge\dfrac{1}{\dfrac{1}{4}}=4\)
Dấu ''='' xảy ra khi x = y =0,5
8 tháng 11 2019
Áp dụng bất đẳng thức Mincopski
\(\Rightarrow\sqrt{x^2+1}+\sqrt{y^2+1}+\sqrt{z^2+1}\ge\sqrt{\left(x+y+z\right)^2+9}\)
Chứng minh rằng : \(\sqrt{\left(x+y+z\right)^2+9}\ge\sqrt{6\left(x+y+z\right)}\)
\(\Leftrightarrow\left(x+y+z\right)^2+9\ge6\left(x+y+z\right)\)
\(\Leftrightarrow\frac{\left(x+y+z\right)^2+9}{x+y+z}\ge6\)
\(\Leftrightarrow x+y+z+\frac{9}{x+y+z}\ge6\)
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz
\(\Rightarrow x+y+z+\frac{9}{x+y+z}\ge2\sqrt{\frac{9\left(x+y+z\right)}{x+y+z}}=2\sqrt{9}=6\left(đpcm\right)\)
Vậy \(\sqrt{\left(x+y+z\right)^2+9}\ge\sqrt{6\left(x+y+z\right)}\)
Mà \(\sqrt{x^2+1}+\sqrt{y^2+1}+\sqrt{z^2+1}\ge\sqrt{\left(x+y+z\right)^2+9}\)
\(\Rightarrow\sqrt{x^2+1}+\sqrt{y^2+1}+\sqrt{z^2+1}\ge\sqrt{6\left(x+y+z\right)}\left(đpcm\right)\)
Dấu " = " xảy ra khi \(x=y=z=1\)
Chúc bạn học tốt !!!
3 tháng 2 2020
Áp dụng bất đẳng thức Mincopski
\(\Rightarrow\sqrt{x^2+1}+\sqrt{y^2+1}+\sqrt{z^2+1}\ge\sqrt{\left(x+y+z\right)^2+9}\)
Chứng minh rằng : \(\sqrt{\left(x+y+z\right)^2+9}\ge\sqrt{6\left(x+y+z\right)}\)
\(\Leftrightarrow\left(x+y+z\right)^2+9\ge6\left(x+y+z\right)\)
\(\Leftrightarrow x+y+z+\frac{9}{x+y+z}\ge6\)
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz
\(\Rightarrow x+y+z+\frac{9}{x+y+z}\ge2\sqrt{\frac{9\left(x+y+z\right)}{x+y+z}}=2\sqrt{9}=6\left(đpcm\right)\)
Vậy \(\sqrt{\left(x+y+z\right)^2+9}\ge\sqrt{6\left(x+y+z\right)}\)
Mà \(\sqrt{x^2+1}+\sqrt{y^2+1}+\sqrt{z^2+1}\ge\sqrt{\left(x+y+z\right)^2+9}\)
\(\Rightarrow\sqrt{x^2+1}+\sqrt{y^2+1}+\sqrt{z^2+1}\ge\sqrt{6\left(x+y+z\right)}\left(đpcm\right)\)
Dấu " = " xảy ra khi \(x=y=z=1\)
Chúc bạn học tốt !!!
KK
21 tháng 4 2017
Áp dụng bất đẳng thức Mincopski
\(\Rightarrow\sqrt{x^2+1}+\sqrt{y^2+1}+\sqrt{z^2+1}\ge\sqrt{\left(x+y+z\right)^2+9}\)
Chứng minh rằng \(\sqrt{\left(x+y+z\right)^2+9}\ge\sqrt{6\left(x+y+z\right)}\)
\(\Leftrightarrow\left(x+y+z\right)^2+9\ge6\left(x+y+z\right)\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{\left(x+y+z\right)^2+9}{x+y+z}\ge6\)
\(\Leftrightarrow x+y+z+\dfrac{9}{x+y+z}\ge6\)
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz
\(\Rightarrow x+y+z+\dfrac{9}{x+y+z}\ge2\sqrt{\dfrac{9\left(x+y+z\right)}{x+y+z}}=2\sqrt{9}=6\) ( đpcm )
Vậy \(\sqrt{\left(x+y+z\right)^2+9}\ge\sqrt{6\left(x+y+z\right)}\)
Mà \(\sqrt{x^2+1}+\sqrt{y^2+1}+\sqrt{z^2+1}\ge\sqrt{\left(x+y+z\right)^2+9}\)
\(\Rightarrow\sqrt{x^2+1}+\sqrt{y^2+1}+\sqrt{z^2+1}\ge\sqrt{6\left(x+y+z\right)}\) ( đpcm )
Dấu " = " xảy ra khi \(x=y=z=1\)
ND
1
3 tháng 2 2019
Áp dụng các bất đẳng thức sau (tự chứng minh)
\(a^2+b^2\ge\frac{\left(a+b\right)^2}{2}\)
được \(8\left(x^4+y^4\right)\ge8\left[\frac{\left(x^2+y^2\right)^2}{2}\right]=4\left(x^2+y^2\right)^2\ge4\left[\frac{\left(x+y\right)^2}{2}\right]^2=1\)
Lại có: \(\left(x+y\right)^2\ge4xy\)
\(\Leftrightarrow1\ge4xy\)
\(\Leftrightarrow xy\le\frac{1}{4}\)
\(\Leftrightarrow\frac{1}{xy}\ge4\)
Cộng 2 vế của 2 bđt trên lại ta đc đpcm
Dấu "=" xảy ra <=> x = y = 1/2
Vậy .....
DD
1
16 tháng 12 2019
...\(\Leftrightarrow\frac{x+y+2}{\left(x+1\right)\left(y+1\right)}\ge\frac{2}{1+\sqrt{xy}}\) \(\Leftrightarrow\left(x+y+2\right)\left(1+\sqrt{xy}\right)\ge2\left(x+1\right)\left(y+1\right)\)
\(\Leftrightarrow x\sqrt{xy}+y\sqrt{xy}+2\sqrt{xy}+x+y+2\ge2xy+2x+2y+2\)\
\(\Leftrightarrow\sqrt{xy}\left(x-2\sqrt{xy}+y\right)-\left(x-2\sqrt{xy}+y\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{xy}-1\right)\left(\sqrt{x}-\sqrt{y}\right)^2\ge0\)
Vì bđt cuối luôn đúng \(\forall xy\ge1\) mà các phép biến đổi trên là tương đương nên bđt đầu luôn đúng
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow x=y\)
T
16 tháng 9 2018
\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=\frac{1^2}{x}+\frac{1^2}{y}+\frac{1^2}{z}\ge\frac{\left(1+1+1\right)^2}{x+y+z}=\frac{9}{x+y+z}\)( Bất đẳng thức Svac-xơ )
Dấu = xảy ra khi \(\frac{1}{x}=\frac{1}{y}=\frac{1}{z}\)
PN
23 tháng 6 2020
BĐT trên
\(< =>\frac{xy+yz+xz}{xyz}\ge\frac{9}{x+y+z}\)
\(< =>\left(x+y+z\right)\left(xy+yz+xz\right)\ge9xyz\)
Áp dụng BĐT cô si cho 3 số :
\(x+y+z\ge3\sqrt[3]{xyz}\)
\(xy+yz+xz\ge3\sqrt[3]{x^2y^2z^2}\)
Nhân vế với vế : \(\left(x+y+z\right)\left(xy+yz+xz\right)\ge3\sqrt[3]{xyz}.3\sqrt[3]{x^2y^2z^2}=9xyz\)
Nên ta có đpcm
\(\text{Xét hiệu:}\)
\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}-\frac{4}{x+y}=\frac{y.\left(x+y\right)}{xy.\left(x+y\right)}+\frac{x.\left(x+y\right)}{xy.\left(x+y\right)}-\frac{4xy}{xy.\left(x+y\right)}\)
\(=\frac{y^2+xy}{x^2y+xy^2}+\frac{x^2+xy}{x^2y+xy^2}-\frac{4xy}{x^2y+xy^2}\)
\(=\frac{x^2-2xy+y^2}{x^2y+xy^2}=\frac{\left(x-y\right)^2}{x^2y+xy^2}\)
\(\text{Vì }\left(x-y\right)^2\ge0\text{ với mọi x;y và }x>0;y>0\)
\(\text{nên: }\frac{\left(x-y\right)^2}{x^2y+xy^2}\ge0\text{ với mọi x;y hay }\frac{1}{x}+\frac{1}{y}-\frac{4}{x+y}\ge0\text{ với mọi x;y}\)
\(\Leftrightarrow\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\ge\frac{4}{x+y}\text{ với mọi x;y}\)
\(\text{Xét hiệu:}\)
\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}-\frac{4}{x+y}=\frac{y.\left(x+y\right)}{xy.\left(x+y\right)}+\frac{x.\left(x+y\right)}{xy.\left(x+y\right)}-\frac{4xy}{xy.\left(x+y\right)}\)
\(=\frac{xy+y^2}{xy.\left(x+y\right)}+\frac{x^2+xy}{xy.\left(x+y\right)}-\frac{4xy}{xy.\left(x+y\right)}=\frac{x^2-2xy+y^2}{xy.\left(x+y\right)}=\frac{\left(x-y\right)^2}{xy.\left(x+y\right)}\)
\(\text{Vì }\left(x-y\right)^2\ge0\text{ với mọi x;y };x>0;y>0\)
\(\text{Nên }\frac{\left(x-y\right)^2}{xy.\left(x+y\right)}\ge0\text{ với mọi x;y}\)
\(\text{hay }\frac{1}{x}+\frac{1}{y}-\frac{4}{x+y}\ge0\text{ với mọi x;y }\Leftrightarrow\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\ge\frac{4}{x+y}\text{ với mọi x;y}\)
\(\text{Dấu "=" xảy ra khi x=y}\)