cho x, y là hai số dương , chứng minh rằng : (x+y)(\(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\) )\(\ge\)

K

Khách

Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.

Mua vip

NT

Nguyễn Thảo Hân

15 tháng 5 2018

cho x, y là hai số dương , chứng minh rằng :

(x+y)(\(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\) )\(\ge\) 4

2

PK

Phùng Khánh Linh

15 tháng 5 2018

Ôn tập cuối năm phần số học

PK

Phùng Khánh Linh

15 tháng 5 2018

Ôn tập cuối năm phần số học

Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên

VT

Vịtt Tên Hiền

4 tháng 4 2017

chứng minh rằng: \(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\ge\dfrac{4}{x+y}\)với mọi số x,y nguyên dương

2

LF

Lightning Farron

4 tháng 4 2017

C₁:Biến đổi tương đương

\(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\ge\dfrac{4}{x+y}\Leftrightarrow\dfrac{x}{xy}+\dfrac{y}{xy}\ge\dfrac{4}{x+y}\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{x+y}{xy}\ge\dfrac{4}{x+y}\Leftrightarrow\left(x+y\right)^2\ge4xy\)

\(\Leftrightarrow x^2+y^2+2xy\ge4xy\Leftrightarrow x^2+y^2-2xy\ge0\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2\ge0\)

C₂:Dùng AM-GM

\(x+y\ge2\sqrt{xy}\);\(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\ge2\sqrt{\dfrac{1}{x}\cdot\dfrac{1}{y}}=2\sqrt{\dfrac{1}{xy}}\)

Nhân theo vế 2 BĐT

\(\left(x+y\right)\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\right)\ge4\sqrt{xy\cdot\dfrac{1}{xy}}=4\Rightarrow\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\ge\dfrac{4}{x+y}\)

C₃:Dùng Cauchy-Schwarz (dạng Engel)

\(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\ge\dfrac{\left(1+1\right)^2}{x+y}=\dfrac{4}{x+y}\)

-3 cách trên đều có dấu "=" khi \(x=y\)

NT

Nguyễn Thu Hà

7 tháng 4 2017

Phân thức đại số.

VT

Vịtt Tên Hiền

2 tháng 4 2017

cho x,y,z là 3 số thỏa mãn \(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}=1\) . chứng minh rằng \(\dfrac{1}{x^4}+\dfrac{1}{y^4}+\dfrac{1}{z^4}\ge\dfrac{1}{xyz}\)

0

TM

TRẦN MINH NGỌC

26 tháng 2 2018

Cho các số thực dương xyz thỏa mãnx+y+z=3. Chứng minh rằng: \(\dfrac{1}{x^2+x}+\dfrac{1}{y^2+y}+\dfrac{1}{z^2+z}\ge\dfrac{3}{2}\)

1

AH

Akai Haruma

Giáo viên

26 tháng 2 2018

Lời giải:

Ta có:

\(A=\frac{1}{x^2+x}+\frac{1}{y^2+y}+\frac{1}{z^2+z}=\frac{1}{x(x+1)}+\frac{1}{y(y+1)}+\frac{1}{z(z+1)}\)

\(=\frac{1}{x}-\frac{1}{x+1}+\frac{1}{y}-\frac{1}{y+1}+\frac{1}{z}-\frac{1}{z+1}\)

\(=\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)-\left(\frac{1}{x+1}+\frac{1}{y+1}+\frac{1}{z+1}\right)(1)\)

Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz:

\(\frac{1}{x}+\frac{1}{1}\geq \frac{4}{x+1}\) và tương tự với các phân thức còn lại rồi cộng lại:

\(\Rightarrow \frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}+3\geq 4\left(\frac{1}{x+1}+\frac{1}{y+1}+\frac{1}{z+1}\right)\)

\(\Leftrightarrow \frac{1}{x+1}+\frac{1}{y+1}+\frac{1}{z+1}\leq \frac{1}{4}\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}+3\right)(2)\)

Từ (1); (2) suy ra \(A\geq \frac{3}{4}\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}-1\right)\)

Mà theo BĐT Cauchy- Schwarz ta có:

\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\geq \frac{9}{x+y+z}=\frac{9}{3}=3\)

Do đó: \(A\geq \frac{3}{4}(3-1)=\frac{3}{2}\) (đpcm)

Dấu bằng xảy ra khi \(x=y=z=1\)

NV

Ngọc Vô Tâm

17 tháng 3 2017

Cho x, y, z là 3 số thỏa mãn \(\dfrac{1}{x}\)+\(\dfrac{1}{y}\)+\(\dfrac{1}{z}\)=1

Chứng minh rằng: \(\dfrac{1}{x^4}\)+\(\dfrac{1}{y^4}\)+\(\dfrac{1}{z^4}\)\(\ge\)\(\dfrac{1}{xyz}\)

2

N

ngonhuminh

17 tháng 3 2017

\(\left\{{}\begin{matrix}a=\dfrac{1}{x}\\b=\dfrac{1}{y}\\c=\dfrac{1}{z}\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\begin{matrix}a+b+c=1\\a^4+b^4+c^4\ge abc\end{matrix}\) \(x,y,z\ne0\Rightarrow a,b,c\ne0\)

\(a^2+b^2+x^2\ge ab+bc+ac\) (*){cơ bản} \(\Rightarrow\left(ab\right)^2+\left(ac\right)^2+\left(bc\right)^2\ge\left(ab.ac\right)+\left(ab.bc\right)+\left(ac.bc\right)=abc\left(a+b+c\right)=abc\)

(*) bình phương hai vế

\(\Leftrightarrow a^4+b^4+c^4+2\left(ab\right)^2+2\left(ac\right)^2+2\left(bc\right)^2\ge\left(ab\right)^2+\left(ac\right)^2+\left(bc\right)^2+2abc\left(a+b+c\right)\)

\(\Leftrightarrow a^4+b^4+c^4\ge-\left[\left(ab\right)^2+\left(ac\right)^2+\left(bc\right)^2\right]+2abc\ge-abc+2abc=abc=>dpcm\)Đẳng thức:

a=b=c=1/3=> x=y=z=3

T

thuongnguyen

17 tháng 3 2017

ta co \(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}=1\) \(\Rightarrow\) \(\dfrac{1}{x.x}+\dfrac{1}{y.y}+\dfrac{1}{z.z}=1\)

\(\Rightarrow\dfrac{1}{x.x.x}+\dfrac{1}{y.y.y}+\dfrac{1}{z.z.z}=1\)\(\Rightarrow\dfrac{1}{x.x.x.x}+\dfrac{1}{y.y.y.y}+\dfrac{1}{z.z.z.z}=1\Leftrightarrow\dfrac{1}{x^4}+\dfrac{1^{ }}{y^4}+\dfrac{1}{z^4}=1\)

\(\Rightarrow\)\(\dfrac{1}{x^4}+\dfrac{1}{y^4}+\dfrac{1}{z^4}\)>= \(\dfrac{1}{x.y.z}\)

GU

Goku Untral Instict

30 tháng 11 2017

Cho các số dương x;y;z thỏa mãn điều kiện\(\dfrac{1}{x}\cdot\dfrac{1}{y}=\dfrac{1}{y}-\dfrac{1}{z}\)

Chứng minh rằng: \(\dfrac{x+y}{2x-y}+\dfrac{y+z}{2z-y}\ge4\)

0

NT

Nguyễn Thị Phương Anh

19 tháng 3 2017

Cho x > 0 , y > 0 . Chứng minh \(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\ge\dfrac{4}{x+y}\)

5

TH

Takishima Hotaru

19 tháng 3 2017

PP : biến đổi tương đương

Bài làm

Ta có \(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\ge\dfrac{4}{x+y}\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{y+x}{xy}\ge\dfrac{4}{x+y}\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{\left(x+y\right)\left(y+x\right)}{xy\left(x+y\right)}\ge\dfrac{4xy}{\left(x+y\right)xy}\)

Vì x , y >0 , ta suy ra (x+y)² \(\ge\)4xy

\(\Leftrightarrow\left(x+y\right)^2-4xy\ge0\)

\(\Leftrightarrow x^2-2xy+y^2\ge0\)

Hay (x-y)²\(\ge\)0 ( điều này luôn đúng )

Vậy..........

DD

DAVID DEGEA

20 tháng 3 2017

còn gọi là phương pháp phản chứng

PT

Phan Thị Phương

3 tháng 5 2018

Chứng minh rằng:

a) \(\dfrac{x}{y}\) + \(\dfrac{y}{z}\) + \(\dfrac{z}{x}\) với mọi x, y, z > 0

b) \(\dfrac{1}{x}\) + \(\dfrac{1}{y}\) \(\ge\) \(\dfrac{4}{x+y}\) với mọi x,y > 0

1

NL

Nguyễn Lê Phước Thịnh

6 tháng 7 2022

a: Thiếu vế phải rồi bạn

b: \(\Leftrightarrow\dfrac{x+y}{xy}>=\dfrac{4}{x+y}\)

\(\Leftrightarrow\left(x+y\right)^2>=4xy\)

\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2>=0\)(luôn đúng)

MD

Mai Diễm My

15 tháng 4 2018

cho x,y thỏa mãn xy≥1 chứng minh rằng

\(\dfrac{1}{1+x^2}+\dfrac{1}{1+y^2}\ge\dfrac{2}{1+xy}\)

1

KK

kuroba kaito

15 tháng 4 2018

\(\dfrac{1}{1+x^2}+\dfrac{1}{1+y^2}\ge\dfrac{2}{1+xy}\)

⇔ \(\left(\dfrac{1}{1+x^2}-\dfrac{1}{1+xy}\right)+\left(\dfrac{1}{1+y^2}-\dfrac{1}{1+xy}\right)\ge0\)

⇔ \(\left(\dfrac{1+xy-\left(1+x^2\right)}{\left(1+x^2\right)\left(1+xy\right)}\right)+\left(\dfrac{1+xy-\left(1+y^2\right)}{\left(1+y^2\right)\left(1+xy\right)}\right)\ge0\)

⇔ \(\left(\dfrac{1+xy-1-x^2}{\left(1+x^2\right)\left(1+xy\right)}\right)+\left(\dfrac{1+xy-1-y^2}{\left(1+y^2\right)\left(1+xy\right)}\right)\ge0\)

⇔ \(\dfrac{-x\left(x-y\right)}{\left(1+x^2\right)\left(1+xy\right)}+\dfrac{-y\left(y-x\right)}{\left(1+y^2\right)\left(1+xy\right)}\ge0\)

⇔ \(\dfrac{-x\left(x-y\right)\left(1+y^2\right)}{\left(1+x^2\right)\left(1+y^2\right)\left(1+xy\right)}+\dfrac{y\left(x-y\right)\left(1+x^2\right)}{\left(1+x^2\right)\left(1+y^2\right)\left(1+xy\right)}\ge0\)

=> -x(x-y)(1+y²)+y(x-y)(1+x²) ≥ 0

⇔ (x-y)[-x(1+y²)+y(1+x²)]≥0

⇔ (x-y)(-x-xy²+y+x²y) ≥0

⇔ (x-y)[-(x-y)+(x²y-y²x)] ≥ 0

⇔ (x-y)[-(x-y)+xy(x-y) ]≥ 0

⇔ (x-y)(x-y)(xy-1)≥ 0

⇔ (x-y)² (xy-1) ≥0 (luôn đúng ∀ xy ≥ 1)

=> đpcm

NH

nguyễn hoàng anh

22 tháng 3 2019

bạn pải giả sử trước chứ nếu ntn thì người chấm hỏi ai cho lôi phần chứng minh ra làm phần mục đề

NT

Nguyen Thuy Linh

6 tháng 4 2018

Cho x,y,z là các số dương. CMR:

a) (x+y+z)(\(\dfrac{1}{x+y}+\dfrac{1}{y+z}+\dfrac{1}{x+z}\)) ≥\(\dfrac{9}{2}\)

b) (x+y+z+t)(\(\dfrac{1}{x+y+z}+\dfrac{1}{y+z+t}+\dfrac{1}{z+t+x}+\dfrac{1}{t+x+y}\)) ≥\(\dfrac{16}{3}\)

c) \(\dfrac{x^2}{y+z}+\dfrac{y^2}{z+x}+\dfrac{z^2}{x+y}\) ≥\(\dfrac{1}{2}\left(a+b+c\right)\)

2

TV

Thành Vinh Lê

7 tháng 5 2018

nhân cả 2 vế với 2 rồi bunhia

NT

Nguyen Thuy Linh

6 tháng 4 2018

câu c là \(\dfrac{1}{2}\)(x+y+z) nhé, mih chép nhầm