Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Áp dụng bất đẳng thức AM - GM cho các bộ bốn số không âm, ta được: \(LHS=\frac{2x^2+y^2+z^2}{4-yz}+\frac{2y^2+z^2+x^2}{4-zx}+\frac{2z^2+x^2+y^2}{4-xy}\)\(=\frac{x^2+x^2+y^2+z^2}{4-yz}+\frac{y^2+y^2+z^2+x^2}{4-zx}+\frac{z^2+z^2+x^2+y^2}{4-xy}\)\(\ge\frac{4x\sqrt{yz}}{4-yz}+\frac{4y\sqrt{zx}}{4-zx}+\frac{4z\sqrt{xy}}{4-xy}\)
Như vậy, ta cần chứng minh: \(\frac{4x\sqrt{yz}}{4-yz}+\frac{4y\sqrt{zx}}{4-zx}+\frac{4z\sqrt{xy}}{4-xy}\ge4xyz\)\(\Leftrightarrow\frac{\sqrt{yz}}{yz\left(4-yz\right)}+\frac{\sqrt{zx}}{zx\left(4-zx\right)}+\frac{\sqrt{xy}}{xy\left(4-xy\right)}\ge1\)
Theo bất đẳng thức Cauchy-Schwarz, ta có: \(\left(x+y+z\right)^2\ge3\left(xy+yz+zx\right)\ge\left(\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{zx}\right)^2\)
\(\Rightarrow\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{zx}\le3\)
Đặt \(\left(\sqrt{xy};\sqrt{yz};\sqrt{zx}\right)\rightarrow\left(a;b;c\right)\). Khi đó \(\hept{\begin{cases}a,b,c>0\\a+b+c\le3\end{cases}}\)
và ta cần chứng minh \(\frac{a}{a^2\left(4-a^2\right)}+\frac{b}{b^2\left(4-b^2\right)}+\frac{c}{c^2\left(4-c^2\right)}\ge1\)
Xét BĐT phụ: \(\frac{x}{x^2\left(4-x^2\right)}\ge-\frac{1}{9}x+\frac{4}{9}\left(0< x\le1\right)\)(*)
Ta có: (*)\(\Leftrightarrow\frac{\left(x-1\right)^2\left(x^2-2x-9\right)}{9x\left(x-2\right)\left(x+2\right)}\ge0\)(Đúng với mọi \(x\in(0;1]\))
Áp dụng, ta được: \(\frac{a}{a^2\left(4-a^2\right)}+\frac{b}{b^2\left(4-b^2\right)}+\frac{c}{c^2\left(4-c^2\right)}\ge-\frac{1}{9}\left(a+b+c\right)+\frac{4}{9}.3\)
\(\ge-\frac{1}{9}.3+\frac{4}{3}=1\)
Vậy bất đẳng thức được chứng minh
Đẳng thức xảy ra khi a = b = c = 1
1. Chứng minh với mọi số thực a, b, c ta có 2a2+b2+c2\(\ge\)2a(b+c)
Chứng minh:
Ta có 2a2+b2+c2=(a2+b2)+(a2+c2)
Áp dụng bđt cauchy ta có
(a2+b2)+(a2+c2)\(\ge\)2ab+2ac=2a(b+c)
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz ta có:
\(\left[\left(1^2\right)^2+\left(1^2\right)^2\right]\left[\left(x^2\right)^2+\left(y^2\right)^2\right]\ge\left(x^2+y^2\right)^2\left(1\right)\)
Lại có: \(\left(1^2+1^2\right)\left(x^2+y^2\right)\ge\left(x+y\right)^2=1\)
\(\Rightarrow2\left(x^2+y^2\right)\ge1\Rightarrow x^2+y^2\ge\frac{1}{2}\)
\(\Rightarrow\left(x^2+y^2\right)^2\ge\left(\frac{1}{2}\right)^2=\frac{1}{4}\)
Vậy từ \(\left(1\right)\) có: \(2\left[\left(x^2\right)^2+\left(y^2\right)^2\right]\ge\frac{1}{4}\)
\(\Rightarrow2\left(x^4+y^4\right)\ge\frac{1}{4}\Rightarrow x^4+y^4\ge\frac{1}{8}\)
Đẳng thức xảy ra khi \(x=y=\frac{1}{2}\)
\(x+y+\frac{1}{2x}+\frac{2}{y}=\left(\frac{x}{2}+\frac{1}{2x}\right)+\left(\frac{y}{2}+\frac{2}{y}\right)+\left(\frac{x}{2}+\frac{y}{2}\right)\ge2\sqrt{\frac{x}{2}.\frac{1}{2x}}+2\sqrt{\frac{y}{2}.\frac{2}{y}}+\frac{3}{2}=1+2+\frac{3}{2}=\frac{9}{2}\)Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi :
\(\frac{x}{2}=\frac{1}{2x}\Leftrightarrow2x^2=2\Rightarrow x=1\)(vì x>0)
\(\frac{y}{2}=\frac{2}{y}\Leftrightarrow y^2=4\Rightarrow y=2\)(vì y>0)
\(x+y=3\)
\(\Rightarrow x=1;y=2\)
+\(x+y+z\le\sqrt{3\left(x^2+y^2+z^2\right)}=3\)
+\(3+2\left(xy+yz+zx\right)=x^2+y^2+z^2+2\left(xy+yz+zx\right)=\left(x+y+z\right)^2\le9\)
\(\Rightarrow B=\frac{1}{1+\sqrt{3+2\left(xy+yz+zx\right)}}\ge\frac{1}{1+3}=\frac{1}{4}\)
+\(A=\frac{x^2}{y+2z}+\frac{y^2}{z+2x}+\frac{z^2}{x+2y}=\frac{x^4}{x^2y+2zx^2}+\frac{y^4}{y^2z+2xy^2}+\frac{z^4}{z^2x+2yz^2}\)
\(\ge\frac{\left(x^2+y^2+z^2\right)^2}{x^2y+y^2z+z^2x+2\left(xy^2+yz^2+zx^2\right)}\)
Áp dụng bđt Bunhiacopxki
\(x^2y+y^2z+z^2x=x.xy+y.yz+z.zx\le\sqrt{x^2+y^2+z^2}.\sqrt{x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2}\)
\(\le\sqrt{x^2+y^2+z^2}.\sqrt{\frac{\left(x^2+y^2+z^2\right)^2}{3}}=3\)
(áp dụng \(ab+bc+ca\le\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}\))
Tương tự: \(xy^2+yz^2+zx^2\le3\)
\(\Rightarrow B\ge\frac{3^2}{3+2.3}=1\)
\(VT=A+B\ge1+\frac{1}{4}=\frac{5}{4}=VP\)
\(a)\)\(x+xy+y=-6\)
\(\Leftrightarrow\)\(\left(x+1\right)\left(y+1\right)=-5\)
Lập bảng xét TH ra là xong
\(b)\) CM : \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\ge\frac{4}{x+y}\)
\(\Leftrightarrow\)\(\frac{x+y}{xy}\ge\frac{4}{x+y}\)
\(\Leftrightarrow\)\(\left(x+y\right)^2\ge4xy\)
\(\Leftrightarrow\)\(x^2+2xy+y^2-4xy\ge0\)
\(\Leftrightarrow\)\(\left(x-y\right)^2\ge0\) ( luôn đúng )
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\)\(x=y\)
Xin thêm 1 slot đi hok về làm cho -,-
\(b)\) CM : \(x^2+y^2\ge\frac{1}{2}\left(x+y\right)^2\)
\(x^2+y^2\ge\frac{\left(x+y\right)^2}{1+1}=\frac{1}{2}\left(x+y\right)^2\) ( bđt Cauchy-Schawarz dạng Engel )
Ta có :
\(A=\left(x+\frac{1}{x}\right)^2+\left(y+\frac{1}{y}\right)^2+2017\ge\frac{\left(x+\frac{1}{x}+y+\frac{1}{y}\right)^2}{2}+2017\)
\(\ge\frac{\left(x+y+\frac{4}{x+y}\right)^2}{2}+2017=\frac{\left(2+\frac{4}{2}\right)^2}{2}+2017=2025\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\)\(x=y=1\)
Bài này còn có cách khác là sử dụng tính chất tổng 2 phân số nghịch đảo nhau nhá :))
Chúc bạn học tốt ~
đặt x2 + y2 = a; xy = b. khi đó a - b = 1 hay a = b + 1.
ta phải chứng minh x4 + y4 - x2y2 \(\ge\)\(\frac{1}{9}\)hay a2 - 3b2 \(\ge\)\(\frac{1}{9}\) (1)
thế a = b + 1 vào (1) ta được 9b2 - 9b - 4 \(\le\)0 hay (3b + 1)(3b - 4) \(\le\)0 hay \(\frac{-1}{3}\le b\le\frac{4}{3}\)
ta sẽ chứng minh \(\frac{-1}{3}\le b\le\frac{4}{3}\).
thật vậy
ta có x2 + y2\(\ge\)2xy nên từ giả thiết suy ra xy \(\le\) 1 hay b \(\le\)1 nên b \(\le\)\(\frac{4}{3}\)
mặt khác từ giả thiết ta có (x + y)2 - 3xy = 1 nên 3xy + 1 = (x + y)2\(\ge\)0 hay xy \(\ge\)\(\frac{-1}{3}\)hay b \(\ge\)\(\frac{-1}{3}\)
từ đó suy ra đpcm.