Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
\(B=\frac{x^2-y^2}{x^2+y^2}=\frac{\left(x+y\right)\left(x-y\right)}{\left(x+y\right)^2-2xy}\)(1)
Vì x>y>0, ta có:
\(A=\frac{x-y}{x+y}=\frac{\left(x-y\right)\left(x+y\right)}{\left(x+y\right)^2}\)(2)
Vì x>y>0 nên \(\left(x+y\right)^2-2xy<\left(x+y\right)^2\)(3)
Từ (1)(2)(3)=>A<B
A) Với \(x>y>0\),ta có: \(x^2+y^2< x^2+y^2+2xy=\left(x+y\right)^2\Rightarrow\frac{1}{x^2+y^2}>\frac{1}{\left(x+y\right)^2}\)
Xét: \(\frac{x^2-y^2}{x^2+y^2}>\frac{x^2-y^2}{\left(x+y\right)^2}=\frac{\left(x-y\right)\left(x+y\right)}{\left(x+y\right)^2}=\frac{x-y}{x+y}\)--->ĐPCM
B) \(3^{16}+1=\left(3^{16}-1\right)+2=\left(3^8+1\right)\left(3^8-1\right)+2\)
\(=\left(3^8+1\right)\left(3^4+1\right)\left(3^4-1\right)+2\)
\(=\left(3^8+1\right)\left(3^4+1\right)\left(3^2+1\right)\left(3^2-1\right)+2\)
\(=\left(3^8+1\right)\left(3^4+1\right)\left(3^2+1\right)\left(3+1\right)\left(3-1\right)+2\)
\(>\left(3^8+1\right)\left(3^4+1\right)\left(3^2+1\right)\left(3+1\right)\)--->ĐPCM
b. Ta có: \(\left(2+1\right)\left(2^2+1\right)\left(2^4+1\right)\left(2^8+1\right)=\left(2-1\right)\left(2+1\right)\left(2^2+1\right)\left(2^4+1\right)\left(2^8+1\right)=\left(2^2-1\right)\left(2^2+1\right)\left(2^4+1\right)\left(2^8+1\right)=\left(2^4-1\right)\left(2^4+1\right)\left(2^8+1\right)=\left(2^8-1\right)\left(2^8+1\right)=2^{16}-1< 2^{16}\)
\(\Rightarrow\left(2+1\right)\left(2^2+1\right)\left(2^4+1\right)\left(2^8+1\right)< 2^{16}\)
\(\dfrac{x-y}{x+y}=\dfrac{\left(x-y\right)\left(x^2+y^2\right)}{\left(x+y\right)\left(x^2+y^2\right)}\)
\(\dfrac{x^2-y^2}{x^2+y^2}=\dfrac{\left(x+y\right)\left(x^2-y^2\right)}{\left(x+y\right)\left(x^2+y^2\right)}\)
Như vậy cần so sánh:
\(\left(x-y\right)\left(x^2+y^2\right)\) và \(\left(x+y\right)\left(x^2-y^2\right)\)
Cần so sánh:
\(x\left(x^2+y^2\right)-y\left(x^2+y^2\right)\) và \(x\left(x^2-y^2\right)+y\left(x^2-y^2\right)\)
\(x^3+xy^2-yx^2-y^3\) và \(x^3-xy^2+yx^2-y^3\)
\(\left(x^3-y^3\right)+xy^2-yx^2\) và \(\left(x^3-y^3\right)-xy^2+yx^2\)
Cần so sánh:
\(xy^2-yx^2\) và \(yx^2-xy^2\)
Cộng cả 2 vế với \(xy^2\) và \(yx^2\)
Cần so sánh:
\(xy^2-yx^2+xy^2+yx^2\) và \(yx^2-xy^2+xy^2+yx^2\)
Cần so sánh
\(2xy^2\) và \(2yx^2\)
\(xy^2\) và \(yx^2\)
Xét các trường hợp nhỏ hơn,lớn hơn,bằng
\(\left(2+1\right)\left(2^2+1\right)\left(2^4+1\right)\left(2^8+1\right)\)
\(=\left(2^2-1\right)\left(2^2+1\right)\left(2^4+1\right)\left(2^8+1\right)\)
\(=\left(2^4-1\right)\left(2^4+1\right)\left(2^8+1\right)\)
\(=\left(2^8-1\right)\left(2^8+1\right)\)
\(=2^{16}-1< 2^{16}\)
\(1)\)
\(a)\)\(A=5-8x-x^2\)
\(A=-\left(x^2+8x+16\right)+21\)
\(A=-\left(x+4\right)^2+21\le21\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\)\(-\left(x+4\right)^2=0\)
\(\Leftrightarrow\)\(x=-4\)
Vậy GTLN của \(A\) là \(21\) khi \(x=-4\)
\(b)\)\(B=5-x^2+2x-4y^2-4y\)
\(-B=\left(x^2-2x+1\right)+\left(4y^2+4y+1\right)-7\)
\(-B=\left(x-1\right)^2+\left(2y+1\right)^2-7\ge-7\)
\(B=-\left(x-1\right)^2-\left(2y+1\right)^2+7\le7\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\)\(\hept{\begin{cases}-\left(x-1\right)^2=0\\-\left(2y+1\right)^2=0\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=1\\y=\frac{-1}{2}\end{cases}}}\)
Vậy GTLN của \(B\) là \(7\) khi \(x=1\) và \(y=\frac{-1}{2}\)
Chúc bạn học tốt ~
\(2)\)\(A=\left(3+1\right)\left(3^2+1\right)\left(3^4+1\right).....\left(3^{64}+1\right)\)
\(2A=2\left(3+1\right)\left(3^2+1\right)\left(3^4+1\right).....\left(3^{64}+1\right)\)
\(2A=\left(3-1\right)\left(3+1\right)\left(3^2+1\right)\left(3^4+1\right).....\left(3^{64}+1\right)\)
\(2A=\left(3^2-1\right)\left(3^2+1\right)\left(3^4+1\right).....\left(3^{64}+1\right)\)
\(2A=\left(3^4-1\right)\left(3^4+1\right).....\left(3^{64}+1\right)\)
\(............\)
\(2A=\left(3^{64}-1\right)\left(3^{64}+1\right)\)
\(2A=3^{128}-1\)
\(A=\frac{2^{128}-1}{3}\)
Chúc bạn học tốt ~
2.
Ta có hằng đẳng thức : \(\left(a-b\right)^2=a^2-2ab+b^2\left(1\right)\)
Lại có \(\left(a+b\right)^2=a^2+2ab+b^2\)
\(\Rightarrow\left(a+b\right)^2-4ab=a^2+2ab-4ab+b^2\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)^2-4ab=a^2-2ab+b^2\left(2\right)\)
Từ (1) và (2) \(\Rightarrow\left(a-b\right)^2=\left(a+b\right)^2-4ab\)( đpcm )
3.
Ta có hằng đẳng thức \(\left(x+y\right)^2=x^2+2xy+y^2\)
\(\Rightarrow x^2+y^2=\left(x+y\right)^2-2xy\)
Thay \(x+y=7\)và \(xy=-3\)vào ta được :
\(x^2+y^2=7^2-2\left(-3\right)\)
\(\Leftrightarrow x^2+y^2=49+6=55\)
Vậy ...
1.
a) Đặt \(A=x^2-6x+10\)
\(A=\left(x^2-6x+9\right)+1\)
\(A=\left(x-3\right)^2+1\)
Mà \(\left(x-3\right)^2\ge0\forall x\)
\(\Rightarrow A\ge1>0\)
Vậy ...
b) Đặt \(B=x^2-4x+7\)
\(B=\left(x^2-4x+4\right)+3\)
\(B=\left(x-2\right)^2+3\)
Mà \(\left(x-2\right)^2\ge0\forall x\)
\(\Rightarrow B\ge3\)
Vậy ...
Bổ sung thêm
b)Ta có (x2 - y2)2 = x4 -2x2y2 +y4
hay 602 = x4 +y4 - 2(xy) 2
nên 3600 = x4 +y4 - 2*36
Vậy x4 +y4 = 3600 -72=3528
\(B=\frac{x^2-y^2}{\left(x^2+y^2\right)}=\frac{\left(x-y\right)\left(x+y\right)}{\left(x+y\right)^2-2xy}\)(1)
Vì x > y > 0 '
\(\Rightarrow A=\frac{\left(x-y\right)}{\left(x+y\right)}=\frac{\left(x-y\right)\left(x+y\right)}{\left(x+y\right)^2}\)(2)
Mà x > y > 0
\(\Rightarrow\left(x+y\right)^2-2xy< \left(x+y\right)^2\)(3)
Từ (1) , (2) và (3) \(\Rightarrow\frac{\left(x-y\right)\left(x+y\right)}{\left(x+y\right)^2-2xy}>\frac{\left(x-y\right)\left(x+y\right)}{\left(x+y\right)^2}\)
Hay \(A< B\)