Question

[Cipher Thanh]

Cho tam giác ABC ,I là giao 3 đường phân giác .Qua I kẻ đường thẳng vuông góc với IA cắt AB,AC tại D,E.Chứng minh \(\frac{BD}{CE}=\left(\frac{IB}{IC}\right)^2\)

Answer 1

[Cô Hoàng Huyền]

Hình tam giác t1: Polygon A, B, C Đoạn thẳng c: Đoạn thẳng [A, B] Đoạn thẳng a: Đoạn thẳng [B, C] Đoạn thẳng b: Đoạn thẳng [C, A] Đoạn thẳng j: Đoạn thẳng [I, A] Đoạn thẳng l: Đoạn thẳng [D, E] Đoạn thẳng m: Đoạn thẳng [B, I] Đoạn thẳng n: Đoạn thẳng [C, I] A = (-1.2, 6.4) A = (-1.2, 6.4) A = (-1.2, 6.4) B = (-3.32, 0.66) B = (-3.32, 0.66) B = (-3.32, 0.66) C = (6.02, 0.82) C = (6.02, 0.82) C = (6.02, 0.82) Điểm I: Giao điểm đường của g, i Điểm I: Giao điểm đường của g, i Điểm I: Giao điểm đường của g, i Điểm E: Giao điểm đường của k, b Điểm E: Giao điểm đường của k, b Điểm E: Giao điểm đường của k, b Điểm D: Giao điểm đường của k, c Điểm D: Giao điểm đường của k, c Điểm D: Giao điểm đường của k, c

Ta thấy ngay \(\Delta ADI=\Delta AEI\) (Cạnh góc vuông và góc nhọn kề)

nên DI = EI.

Xét tam giác vuông AID, ta có \(\widehat{DAI}+\widehat{ADI}=90^o\)

Lại có \(\widehat{ADI}\) là góc ngoài tam giác DIB nên \(\widehat{ADI}=\widehat{ABI}+\widehat{DIB}\)

Vậy thì \(\widehat{DAI}+\widehat{ABI}+\widehat{DIB}=90^o\) (1)

Do AI, BI, CI là các tia phân giác nên \(\widehat{DAI}+\widehat{ABI}+\widehat{BCI}=\frac{\widehat{BAC}+\widehat{ABC}+\widehat{ACB}}{2}=\frac{180^o}{2}=90^o\) (2)

Từ (1) và (2) suy ra \(\widehat{DIB}=\widehat{ICB}\)

Vậy thì \(\Delta DIB\sim\Delta ICB\left(g-g\right)\Rightarrow\frac{DB}{IB}=\frac{DI}{IC}\Rightarrow DB=\frac{IB.DI}{IC}\)

Hoàn toàn tương tự \(\Delta IEC\sim\Delta BIC\left(g-g\right)\Rightarrow\frac{IE}{BI}=\frac{EC}{IC}\Rightarrow EC=\frac{IC.IE}{IB}\)

Vậy thì \(\frac{BD}{EC}=\frac{IB.DI}{IC}:\frac{IC.IE}{IB}=\frac{IB.DI}{IC}.\frac{IB}{IC.IE}=\left(\frac{IB}{IC}\right)^2\)