Question

[Faker Viet Nam]

Cho tam giác ABC đều nội tiếp (O). Một đường thẳng d thay đổi đi qua A cắt 2 tiếp tuyến tại B và C của (O) tương ứng tại M,N. Giả sử d cắt (O) tại E, MC cắt BN tại F. Chứng minh

a) Tam giác ACN đồng dạng tam giác MBA

    Tam giác MBC đồng dạng tam giác BCN 

b) tứ giác BMEF nội tiếp 

c) EF luôn đi qua 1 điểm cố định khi d thay đổi

Answer 1

[Nguyễn Tuấn]

a) Dễ thấy ^ABM = ^BAC = ^ACN = 60o => AB//CN và AC//BM => tg ACN ~ tg MBA (*) 
Ta có: BM/BC = BM/AB = AC/CN (do (*)) = BC/CN (1) 
Hơn nữa dễ thấy ^MBC = ^BCN = 120o (2) 
Từ (2) và (3) => tg MBC ~ tg BCN (**) 

b) Ta có ^MEB = ^AEB = ^ACB = 60o (3) 
^MFB = ^FBC + ^FCB = ^FMB + ^FCB (do (**) = 180o - ^MBC = 180o - 120o = 60o (4) 
Từ (3) và (4) => BMEF nội tiếp (***) 

c) EF cắt BC tại P và cắt (O) tại Q 
Ta có sđ cung ^EFN = ^BMA ( do (***)) = ^CAN ( do (*)) = ^CAE = ^CQE => CQ//FB 
Mà theo câu b) thì ^BFC = 60p = ^BQC => BQ//FC 
=> BFCQ là hình bình hành => P là trung điểm BC => EF đi qua trung điểm P cố định của BC

Answer 2

[Faker Viet Nam]

copy trên trang nayf mà cũng đăng lên https://vn.answers.yahoo.com/question/index?qid=20140214004437AAlhT8o