Question

[Mây]

Cho tam giác ABC đều cạnh a, nội tiếp đường tròn (O). D,E lần lượt trên các cạnh AB,AC sao cho \(\frac{1}{BD}+\frac{1}{CE}=\frac{3}{a}\). đường thẳng DE cắt đường tròn (O) ở M,N (D nằm trên M và E)

CM: BMNC là hình thang cân

Answer 1

[Tran Le Khanh Linh]

Vì OI _|_ AB tại I, OK _|_ AC tại K. Do đó: \(AI=AK=\frac{a}{2}\)

Trên tia đối của tia IA lấy F sao cho IF=EK

Đặt AD=x, AE=y

Chứng minh được \(DE=\sqrt{x^2+y^2-xy}\)

Ta có: \(\frac{1}{BD}+\frac{1}{CE}=\frac{3}{a}\Rightarrow\frac{1}{a-x}+\frac{1}{a-y}=\frac{3}{a}\)

=> a²-2(x+y)a+3xy=0

Từ gt có: x+y < a; a=x+y+\(\sqrt{x^2+y^2-xy}\)

AI+AK=AD+AE+DE; DI+EK=DE

DF=DE => OI=OH => AB=MN

Từ đó chứng minh BMNC là hình thang cân