Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Gọi M là trung điểm của BC
Xét ΔABC có AM là đường trung tuyến
nên \(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}=2\cdot\overrightarrow{AM}\)
\(\Leftrightarrow\left|\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\right|=2\cdot\dfrac{a\sqrt{3}}{2}=a\sqrt{3}\)
\(\left|\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}\right|=\left|\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{AB}\right|=CB=a\)
Theo tính chất trọng tâm tam giác ta luôn có:
\(\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\overrightarrow{0}\Rightarrow\overrightarrow{GA}=-\overrightarrow{GB}-\overrightarrow{GC}\)
Thế vào đẳng thức giả thiết ta được:
\(BC.\left(-\overrightarrow{GB}-\overrightarrow{GC}\right)+AC.\overrightarrow{GB}+AB.\overrightarrow{GC}=\overrightarrow{0}\)
\(\Rightarrow\left(AC-BC\right)\overrightarrow{GB}=\left(BC-AB\right)\overrightarrow{GC}\) (1)
Mà \(\overrightarrow{GB};\overrightarrow{GC}\) không phải 2 vecto cùng phương
\(\Rightarrow\left(1\right)\) xảy ra khi và chỉ khi \(\left\{{}\begin{matrix}AC-BC=0\\BC-AB=0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}AC=BC\\AB=BC\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow AB=AC=BC\) \(\Rightarrow\Delta ABC\) là tam giác đều
Do tam giác ABC vuông tại A và \(\widehat{B}=30^o\) \(\Rightarrow C=60^o\)
\(\Rightarrow\left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{BC}\right)=150^o;\)\(\left(\overrightarrow{BA},\overrightarrow{BC}\right)=30^o;\left(\overrightarrow{AC},\overrightarrow{CB}\right)=120^o\)
\(\left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}\right)=90^o;\left(\overrightarrow{BC},\overrightarrow{BA}\right)=30^o\).Do vậy:
a) \(\cos\left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{BC}\right)+\sin\left(\overrightarrow{BA},\overrightarrow{BC}\right)+\tan\frac{\left(\overrightarrow{AC},\overrightarrow{CB}\right)}{2}\)
\(=\cos150^o+\sin30^o+\tan60^o\)
\(=-\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2}+\sqrt{3}\)
\(=\frac{\sqrt{3}+1}{2}\)
b) \(\sin\left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}\right)+\cos\left(\overrightarrow{BC},\overrightarrow{AB}\right)+\cos\left(\overrightarrow{CA},\overrightarrow{BA}\right)\)
\(=\sin90^o+\cos30^o+\cos0^o\)
\(=1+\frac{\sqrt{3}}{2}\)
\(=\frac{2+\sqrt{3}}{2}\)
Kẻ trung tuyến AM, BN
a, \(\left|\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\right|=\left|2\overrightarrow{AM}\right|=2AM\)
\(=2\sqrt{AB^2-\frac{1}{4}BC^2}=2\sqrt{a^2-\frac{1}{4}a^2}=\sqrt{3}.a\)
b, \(\left|\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CB}\right|=\left|-2\overrightarrow{AN}\right|=2AN=\sqrt{3}.a\)
c, \(\left|\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}\right|=\left|2\overrightarrow{GM}\right|=\left|\frac{2}{3}\overrightarrow{AM}\right|=\frac{2}{3}AM=\frac{2}{3}.\frac{\sqrt{3}}{2}a=\frac{\sqrt{3}}{3}a\)
d, \(\left|\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}\right|=\left|\overrightarrow{CB}\right|=CB=a\)