Câu hỏi của Phạm Thùy Dung

Question

Cho tam giác ABC có ba góc nhọn ( AB < AC ) . Vẽ về phía ngoài tam giác ABC các tam giác đều ABD và ACE . Gọi I là giao điểm của CD và BE , K là giao điểm của AB và DC .

a ) Chứng minh rằ...

Nguyễn Linh Chi · Accepted Answer

A D E B C I M N K F

a) +) Chứng minh $\Delta$DAC = $\Delta$BAE

Thật vậy: Ta có: AD = AB ( $\Delta$DAB đều )

^DAB = ^CAE ( = 60$^o$; $\Delta$DAB đều ; $\Delta$CAE đều ) => ^DAC = ^BAE

CA = AE ( $\Delta$CAE đều )

Từ 3 điều trên => $\Delta$DAC = $\Delta$BAE ( c.g.c) (1)

=> ^ABE = ^ADC (2)

+) Xét $\Delta$KAD và $\Delta$KIB có: ^DKA = ^BKI ( đối đỉnh )

^KDA = ^KBI( theo ( 2) )

mà ^DKA + ^KDA + ^KAD= ^BKI + ^KBI + ^KIB = 180$^o$

=> ^KIB = ^KAD = ^BAD= 60$^o$

=> ^DIB = 60$^o$

b) Từ (1) => DC = BE mà M là trung điểm DC; N là trung điểm BE

=> DM = BN (3)

+) Xét $\Delta$BAN và $\Delta$DAM

có: BN = DM ( theo (3)

^ABN = ^ADM ( theo (2)

AB = AD ( $\Delta$ADB đều )

=> $\Delta$BAN = $\Delta$DAM (4)

=> AN = AM => $\Delta$AMN cân tại A (5)

+) Từ (4) => ^BAN = ^DAM => ^BAM + ^MAN = ^DAB + ^BAM

=> ^MAN = ^DAB = 60$^o$(6)

Từ (5); (6) => $\Delta$AMN đều

c) +) Trên tia đối tia MI lấy điểm F sao cho FI = IB => $\Delta$FIB cân tại I

mà ^BIF = ^BID = 60$^{\text{}o}$( theo (a))

=> $\Delta$FIB đều (7)

=> ^DBA = ^FBI( =60$^o$)

=> ^DBF + ^FBA = ^FBA + ^ABI

=> ^DBF = ^ABI

Lại có: BI = BF ( theo (7) ) và BA = BD ( $\Delta$BAD đều )

Từ (3) điều trên => $\Delta$DFB = $\Delta$AIB => ^AIB = ^DFB = 180$\text{}^o$- ^BFI = 180$\text{}^o$-60$\text{}^o$=120$\text{}^o$

+) Mặt khác ^BID = 60 $\text{}^o$( theo (a) )

=> ^DIE = 180$\text{}^o$- ^BID = 120 $\text{}^o$và ^DIA = ^AIB - ^BID = 120$\text{}^o$-60$\text{}^o$=60$\text{}^o$

=> ^AIE = ^DIE - ^DIA = 120$\text{}^o$-60$\text{}^o$=60$\text{}^o$

=> ^DIA = ^AIE ( = 60$\text{}^o$)

=> IA là phân giác ^DIE.

Câu trả lời: