Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Bài 1:
A B C D M N P Q E F
a) Xét tam giác ABC có M là trung điểm của AB (gt) ,E là trung điểm của AC (gt)
\(\Rightarrow ME\)là đường trung bình tam giác ABC
\(\Rightarrow ME=\frac{1}{2}BC\left(tc\right)\left(1\right)\)
Xét tam giác ADC có E là trung điểm của AC (gt) ,P là trung điểm của DC (gt)
\(\Rightarrow PE\)là đường trung bình của tam giác ADC
\(\Rightarrow PE=\frac{1}{2}AD\left(tc\right)\left(2\right)\)
mà \(AD=BC\left(gt\right)\left(3\right)\)
Từ (1) , (2) và (3) \(\Rightarrow EM=PE\)
CMTT: \(PE=FP,FM=ME\)
\(\Rightarrow ME=EP=PF=FM\)
Xét tứ giác MEPF có:
\(ME=EP=PF=FM\left(cmt\right)\)
\(\Rightarrow MEPF\)là hình thoi ( dhnb)
b) Vì \(MEPF\)là hình thoi (cmt)
\(\Rightarrow FE\)giao với MP tại trung điểm mỗi đường (tc) (4)
Xét tam giác ADB có M là trung điểm của AB(gt) ,Q là trung điểm của AD (gt)
\(\Rightarrow MQ\)là đường trung bình của tam giác ADB
\(\Rightarrow MQ//DB,MQ=\frac{1}{2}DB\left(tc\right)\left(5\right)\)
Xét tam giác BDC có N là trung điểm của BC(gt) , P là trung điểm của DC(gt)
\(\Rightarrow NP\)là đường trung bình của tam giác BDC
\(\Rightarrow NP//DB,NP=\frac{1}{2}DB\left(tc\right)\left(6\right)\)
Từ (5) và (6) \(\Rightarrow MQ//PN,MQ=PN\)
Xét tứ giác MQPN có \(\Rightarrow MQ//PN,MQ=PN\)
\(\Rightarrow MQPN\)là hình bình hành (dhnb)
\(\Rightarrow MP\)giao QN tại trung điểm mỗi đường (tc) (7)
Từ (4) và (7) \(\Rightarrow MP,NQ,EF\)cắt nhau tại một điểm
c) Xét tam giác ABD có Q là trung điểm của AD (gt), F là trung điểm của BD(gt)
\(\Rightarrow QF\)là đường trung bình của tam giác ADB
\(\Rightarrow QF//AB\left(8\right)\)
CMTT: \(FN//CD\)và \(EN//AB\)
Mà Q,F,E,N thẳng hàng
\(\Rightarrow AB//CD\)
Vậy để Q,F,E,N thẳng hàng thì tứ giác ABCD phải thêm điều kiện \(AB//CD\)
a, Gọi I,J là tâm của hcn BDEH và CDFK
Do đó \(BI=ID\Rightarrow\widehat{BID}=180^0-2\widehat{IBD}\) (\(\Delta BID\) cân tại I)
Mà \(\Delta ABC\) cân tại A nên \(\widehat{BAC}=180^0-2\widehat{IBD}\)
Do đó \(\widehat{BID}=\widehat{BAC}\) mà 2 góc này ở vị trí đv nên ID//AJ
Cmtt ta được \(\widehat{DJC}=\widehat{BAC}\left(=180^0-2\widehat{ACB}\right)\) mà 2 góc này ở vị trí slt nên AI//DJ
Do đó IAJD là hbh nên \(AI=DJ=JK\) (J là trung điểm DK)
Và AI//DJ hay AI//JK
\(\Rightarrow AIJK\) là hbh
\(\Rightarrow IJ=AK\) và IJ//AK
Mà IJ là đtb tg HDK nên IJ//HK và \(IJ=\dfrac{1}{2}HK\)
\(\Rightarrow\) HK trùng AK hay H,A,K thẳng hàng và \(AK=\dfrac{1}{2}HK\)
Do đó A là trung điểm HK
Vậy trung điểm A của HK là điểm cố định ko phụ thuộc vào vị trí điểm D
b, Vì I,M là trung điểm HD,AD nên IM là đtb tg HAD
Do đó IM//AH
Mà IJ//AH nên IM trùng IJ hay I,M,J thẳng hàng
c, Xét tam giác DHK có:
HJ là trung tuyến (J là trung điểm DK)
DA là trung tuyến (A là trung điểm HK)
KI là trung tuyến (I là trung điểm DH)
Do đó AD,HJ,KI đồng quy tại trọng tâm tam giác DHK
d, Do AIDJ là hbh nên M là trung điểm AD cũng là trung điểm IJ
Gọi P là trung điểm BC thì AP cũng là đường cao và AP ko đổi
Kẻ MN⊥BC thì MN//AP
Do đó MN là đtb tg DAP
\(\Rightarrow MN=\dfrac{1}{2}AP\) và MN ko đổi
Vậy khi D thay đổi thì M chạy trên đg thẳng //BC và các BC 1 khoảng bằng \(\dfrac{1}{2}AP\) (không đổi)
Tam giác ABC cân tại A
=> ^EBD = ^FCB
Mà ^EFA + ^FCB = 90
^BED + ^EBD = 90
=> ^EFA = ^BED
^BED = ^FEA (đối đỉnh)
=> ^EFA = ^FEA
=> tam giác AEF cân tại A
=> AE = AF (1)
Kéo dài AB cắt KF tại M
Xét tam giác AMF có
^MFC = ^ACB
^FMB = ^ABC
^ACB = ^ABc
=> ^MFC = ^FMB => t/g AMF cân tại A => AF = AM (2)
từ(1) và (2) => AE =AM => A là trung điểm EM
nối B với F
Xét tam giác AFB và AMC
^FAB = ^MAC (đối đỉnh)
AF = AM (cmt)
AB =AC (gt)
=> tam giác AFB = AMC (c.g.c)
=> BF =MC
Xét tam giác BDF và MKC
^D = ^K = 90
DF = KC
BF = MC
=> Tam giác BDF = MKC ( cạnh huyền- cạnh góc vuông)
=> BD = MK
Mà BD = EH
=> MK = EH
Xét tứ giác MKEH
MK // EH và MK = EH
=> MKEH là hình bình hành
=> ME và HK cắt nhau tại trung điểm mỗi đường
mà A là trung diểm ME
=> A là trung điểm HK